Geometrische Summe Indexverschiebung

Question

! Es geht um folgende Summe die ich bereits vereinfacht habe und die auch mit Hilfe der Summenformeln ausgerechnet werden soll.   $$ \sum_{n=1}^{7}{(2^k-5(2k-1)} $$  Vereinfacht: $$ \sum_{n=1}^{7}{2^k} $$  $$ -10\sum_{n=1}^{7}{k} $$  $$ +5\sum_{n=1}^{7}{1} $$

Meine Frage ist jetzt wie ich die geometrische Summe auf 0 kriege (mithilfe von Indexverschiebung) Ich verstehe das System noch nicht ganz kann ich jetzt einfach alle k durch k+1 ersetzten und bei 0 Anfangen ? Stimmt auch der Rest der Vereinfachung? Vielen Dank !

Comments

Hallo die Geometrische Summe wird nicht Null. Außerdem setzt sich deine ,,Gesamtsumme" auch noch durch eine arithmetische und konstante Summenfolge zusammen.

Oder willst du bei k=0 anfangen aufzusummieren?

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ja ich habe ja mit k^2 eine geometrische summe q^n und da die ja bei 0 anfängt würde ich auch gerne bei k=0 anfangen.

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Dann mach folgendes:

$$ \sum_{k=1}^7 2^k=\Bigg(\sum_{k=0}^7 2^k\Bigg) -2^0 $$

Du musst halt bei dem Verändern vom Startindex aufpassen, dass sich die Summe dadurch nicht verändert.

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ok Danke ! verstehe nicht ganz was da jetzt gemacht wurde... $$ \sum_{n=0}^{7}{2(^k+^1)} $$

ich dachte, dass es so möglich ist.

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Dann darst du aber nur bis n=6 summieren.

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ach ja natürlich. Wenn ichjetzt aber das ganze ausrechne :$$ \frac{1-2^6}{1-2} $$ $$-10\frac{7*8}{2} $$ + 5*7

Dann komme ich auf  63 -280+35 = -182 (Lösung soll aber 9 sein)

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Du wendest die geometrische Summenformel falsch an.

$$ \sum_{k=0}^6 2^{k+1}=2\cdot \sum_{k=0}^6 2^k=2\cdot \frac{1-2^{6+1}}{1-2} $$

Sonst stimmt der Rest.

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ach ja n+1 ... nur warum habe ich 2*2k ? wo kommt die 2 als vorfaktor her ?

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Stichwort: Potenzgesetze. Ich darf doch $$ 2^{k+1}=2\cdot 2^k $$schreiben.

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oh man natürlich ... vielen vielen herzlichen Dank ;) und noch einen ruhig sonntag ;) ps:kann leider keine beste antwort oder daumen da lassen ;/

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Danke. Dir auch nen schönen Sonntag. :)

Answer 1

kann ich jetzt einfach alle k durch k+1 ersetzten und bei 0 anfangen ?

Ja, aber die Summe geht dann von k=0 bis 6.

Comments

hallo danke für die antwort ... vollkommen richtig... aber wie komme ich auf die richtige lösung? siehe oben ?