Extremstellen berechnen: Hinreichend oder Notwendig? f(x)=x^{3}-x^{2}+1

Question

Ich habe die Funktion f(x)=x^3-x^2+1

Dann habe ich sie abgeleitet also

f'(x)=3x^2-2x

f''(x)=6x-2

Hinreichende Bedingung:

3x^2-2x=0

3x^2=2x

x= 2/3

Notwendige Bedingung?

Answer 1

Hinreichende Bedingung:
3x²-2x=0

Das ist nicht hinreichend. Wenn die Ableitung 0 ist, dann muss es sich nicht unbedingt um einen Extrempunkt handeln. Es könnte sich auch um einen Sattelpunkt handeln.

3x²=2x
x= 2/3

Du hast die erste Gleichung durch x geteilt. Dass darfst du nur dann, wenn x≠0 ist.

Prüfe ob x=0 ebenfalls eine Lösung der GLeichung ist.

Notwendige Bedienung?

Die Ableitung ist 0.

Hinreichende Bedingung ist, dass die Ableitung 0 ist und die zweite Ableitung nicht 0 ist.

Eine etwas mächtigere hinreichende Bedingung ist, dass die Funktion ihr Monotonieverhalten ändert.