Welche Aussage ist notwendig und welche hinreichend?

Question

Eine Bedingung A heißt hinreichend für B, wenn A=B gilt. Eine Bedingung C heißt notwendg für B, wenn B=C gilt.

Aufgabe:

Aussage 1: "x ist eine ganze Zahl" und

x löst die Gleichung x^2-4x-5

Welche Aussage ist notwendig und welche hinreichend?

Comments

Welche Aussage ist notwendig und welche hinreichend?

Eine Aussage für sich allein ist weder notwendig noch hinreichend !

Falls von zwei Aussagen A und B die zweite aus der ersten logisch folgt, also

A ⇒ B

(Kein Gleichheitszeichen, sondern ein Implikationspfeil)

dann kann man sagen, dass A eine hinreichende Bedingung für B sei oder umgekehrt ausgedrückt, dass B eine notwendige Bedingung für A sei.

Answer 1

x^2 - 4·x - 5 ist leider keine Gleichung!

Meinst du

x^2 - 4·x - 5 = 0
(x + 1)·(x - 5) = 0

Lösung der Gleichung wäre also x = -1 ∨ x = 5

A: "x ist eine ganze Zahl"

B: "x Löst die Gleichung x^2 - 4·x - 5 = 0"

A ist notwendig für B

B ist hinreichend für A

Answer 2

Aloha :)

Die Gleichung \(x^2-4x-5=0\) können wir auch als \((x-5)(x+1)=0\) schreiben. Daraus lesen wir die beiden Lösungen \(x=5\) und \(x=-1\) ab. Diese Lösungen sind durch die Aussage "\(x\) löst die Gleichung \(x^2-4x-5=0\)" eindeutig und hinreichend bestimmt. Weiter sind \(x=5\) und \(x=-1\) aber auch ganze Zahlen, sodass wir folgende Folgerungskette aufstellen können:

$$x\text{ löst die Gleichung }x^2-4x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=5\;\lor\;x=-1\quad\Rightarrow\quad x\in\mathbb Z$$

Was links vom Folgerungspfeil "\(\Rightarrow\)" steht ist hinreichend, was rechts davon steht ist notwendig.