Stellen der Zahl 10001!

Question

Wenn ich die Stellen der Zahl von oben grob abschätzen soll, wie mache ich das?

Gefragt ist nach zu bedrückenden Textseizen und Stellen

Answer 1

Vielleicht gelingt es über den Zehnerlogarithmus log₁₀  , ich schreib jetzt einfach log

log(10001!) = log (  100001*10000*9999*9998*……2*1)

=log(10001) + log(10000) + …..  log(1000) + … + log(100) +.....+log(10)+ ….. +log(2) + log(1)

Die Logarithmen von 1001 bis 10000 sind alle größer 3 und die von 101 bis 1000 alle größer 2 etc, also

ist die obige Summe sicher größer als

             4 + 9000*3   +  900*2   +  90*1 9*0  und weil der Graph der Logarithmusfunktion rechtsgekrümmt ist,

darf man in den Summen die 3 bzw. 2 bzw. 1 bzw. 0  wohl auch durch 3,5  bzw. 2,5  bzw. 1,5 bzw. 0,5 ersetzen, dann gäbe es

    log(10001!)  > 4+3,5*9000 + 2,5 * 900 +   1,5*90 + 0,5*9 = 33803,5 also  jedenfalls  > 33803.

Also ist das Ergebnis im Zehnersystem eine Zahl mit mindestens 33803 Stellen.

Answer 2

Mein Computer-Algebra-System nennt (log₁₀(10001!)  im ungefähr-Modus) 82109 Stellen. Das sind in der Schriftart Calibri 11 pt fast 9 Din-A-4 Seiten.