Zeigen Sie, dass p die Catalan-Zahl Cp-1 teilt.

Question

Aufgabe:

Sei p≥5 eine Primzahl. Zeigen Sie, dass p die Catalan-Zahl Cp-1 teilt.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es, hier die explizite Formel Cn = \( \frac{1}{n+1} \) (2n über n), also in dem Fall Cp-1 = \( \frac{1}{p} \) (2p-2 über p) zu verwenden.

Ich habe die Beziehung (2p-1 über p-1)≡1 (mod p^2) gefunden und habe versucht Cp-1 so umzuwandeln, damit man diese nutzen kann, aber bin auch nicht wirklich weiter gekommen. Außerdem steht diese Formel auch nicht in unserem Skript, weshalb mir ein anderer Ansatz generell lieber wäre.

Vielen Dank schonmal.

Comments

Edit: Cp-1 = \( \frac{1}{p} \) (2p-2 über p-1)

Answer 1

Cn = \( \frac{1}{n+1} \) (2n über n), also in dem Fall Cp-1 = \( \frac{1}{p} \) (2p-2 über p)

ist falsch. Beim Ersetzen von n durch (p-1) entsteht

Cp-1 = \( \frac{1}{p} \) (2p-2 über (p-1))

Die zu beweisende Formel stimmt übrigens nicht bzw. steht zumindest im Widerspruch zu Wikipedia-Eintrag. Dort heißt das Anfangsglied C0, hier wird aber vom Anfangsglied C1 ausgegangen.

Comments

Ja, stimmt. Das hab ich in meinen Notizen auch so stehen, aber hier falsch eingetippt. Danke.

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Mit der bei 0 beginnenden Nummerierung gilt:

C3 ist durch 5 teilbar.

C5 ist durch 7 teilbar.

C9 ist durch 11 teilbar.

Allgemein: C_p-2 ist durch p teilbar.

Dabei gilt C_p-2 = \( \frac{1}{p-1} \begin{pmatrix} 2p-4 \\ p-2 \end{pmatrix}\)

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Ja, ich sehe gerade, dass wir die Catalan-Zahlen anders definiert haben. Cp-1 im Skript entspricht dem Cp-2 bei Wikipedia.

Answer 2

Text erkannt:

Wenn C(p-1) gemeint ist, dann gilt das nicht.
\( C(p-1)=(2(p-1)) ! / p ! /(p-1) ! \)
In (2(p-1))! geht p einmal rein,
in p! geht p einmal rein,
in \( (p-1) ! \) nicht.