oberfläche kugel, welches volumen in 1000 kugeln geteilt wird und immer weiter

Question

Eine Stahlkugel mit dem Radius 6 cm wird in einem ersten Schritt in 1000 volumengleiche Kugeln mit der gesamten Oberfläche A1 umgegossen. In einem zweiten Schritt werden alle Kugeln wieder in je 1000 volumengleiche Kugeln mit der gesamten Oberfläche A2 umgegossen. Dieses Verfahren wird fortgesetzt.
a) Zeige, dass (An) eine GF ist und gib ihren Quotienten an.

b) Für welches n übersteigt An erstmals 1km^2?

Answer 1

V₀=4π6³/3;  V₁=4π6³/3000

r₀=6;             r₁=3/5

A₀=4π6²       A₁=4π(3/5)²

Der Faktor von A₀ nach A₁ ist 1/100. 1000/100 =10 ist der Faktor q der geometrischen Folge.

Answer 2

Hier mal ein paar mögliche Ansätze zu a):

$$ A_0 = 4\pi\cdot 6^2 \\ A_1 = 4\pi\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt[3]{1000}}\right)^2\cdot 1000 \\[30pt] q = \dfrac{A_1}{A_0} = \dfrac{4\pi\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt[3]{1000}}\right)^2\cdot 1000}{4\pi\cdot 6^2} = \dots \\[30pt] A_n = A_0\cdot q^n = \dots $$