Würfel und Kugel haben gleiche Oberfläche. Wie verhält sich das Volumen? (Stereometrie)

Question

Aufgabe:

Ein Würfle und eine Kugel haben den gleichen Oberflächeninhalt S.

Wie viel Prozent des Kugelvolumens beträgt das Würfelvolumen. (BMS Aufgabe Schweiz)

Lösung gemäss Buch = 72.36%

Gegeben:

Beide Oberflächen gleich

Gesucht:

Volumenvergleich als %

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war wie in den meisten Fällen die beiden Formel gleichzustellen:

(Oberfläche Würfel = Oberfläche Kugel)

Text erkannt:

\( 6 * a^{2}=4 * P I * r^{2} \)

Es fällt auf das es zwei unbekannten gibt a und r.

Grundsätzlich könnte man jetzt versuchen a durch r auszudrücken jedoch komme ich damit nicht weiter.

\( a^{2}=\left(4 * P I * r^{2}\right) / 6 \)

Wenn ich das wieder in die Formel einsetzte streichen sich fast alle Variabel selber und es bleit nur eine Zahl zurück.

\( 6 *\left(\left(4 * P I * r^{2}\right) / 6\right)=4 * P I * r^{2} \)

Habt ihr einen Lösungvorschlag?

Answer 1

Würfel

O = 6a^2 → a = √(O/6)

V = a^3 = √(O/6)^3

Kugel

O = 4*pi*r^2 → r = √(O/(4*pi))

V = 4/3*pi*r^3 = 4/3*pi*√(O/(4*pi))^3

Wie viel Prozent des Kugelvolumens beträgt das Würfelvolumen. (BMS Aufgabe Schweiz)

√(O/6)^3 / (4/3*pi*√(O/(4*pi))^3) = √(pi/6) = 0.7236 = 72.36%

Answer 2

Aus 6a^2=4πr^2 kannst du durch Umstellen das Verhältnis a^2 / r^2 ermitteln.

Damit kannst du das Verhältnis a / r ausdrücken.

Damit kannst du a³/r³ ausdrücken und das nach a³ oder nach r³ umstellen.

Answer 3

O Kugel = 4 * pi * r^2
O Würfel = 6 * a^2

4 * pi * r^2 = 6 * a ^2
4 / 6 * pi * r^2 = a^2
a = r * 1.4472
--------------------------

V Kugel = 4/3 * pi * r^3
V Würfel = a^3 = ( r * 1.4472 ) ^3

V Kugel zu V Würfel
( 4/3 * pi * r^3 ) / ( r * 1.4472 ) ^3
1.382
Hiernach ergibt sich das V Kugel das 1.382
fache von V Würfel iist.
Oder
Es ergibt sich das V Würfel das
1/ 1,382 = 0.7236 fache von V Kugel ist
72.36 %