Würfel und Kugel haben gleiche Oberfläche. Wie verhält sich das Volumen? (Stereometrie)

Question

Aufgabe:

Ein Würfle und eine Kugel haben den gleichen Oberflächeninhalt S.

Wie viel Prozent des Kugelvolumens beträgt das Würfelvolumen. (BMS Aufgabe Schweiz)

Lösung gemäss Buch = 72.36%

Gegeben:

Beide Oberflächen gleich

Gesucht:

Volumenvergleich als %

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war wie in den meisten Fällen die beiden Formel gleichzustellen:

(Oberfläche Würfel = Oberfläche Kugel)

Text erkannt:

$6 * a^{2}=4 * P I * r^{2}$

Es fällt auf das es zwei unbekannten gibt a und r.

Grundsätzlich könnte man jetzt versuchen a durch r auszudrücken jedoch komme ich damit nicht weiter.

$a^{2}=\left(4 * P I * r^{2}\right) / 6$

Wenn ich das wieder in die Formel einsetzte streichen sich fast alle Variabel selber und es bleit nur eine Zahl zurück.

$6 *\left(\left(4 * P I * r^{2}\right) / 6\right)=4 * P I * r^{2}$

Habt ihr einen Lösungvorschlag?

Answer 1

Würfel

O = 6a² → a = √(O/6)

V = a³ = √(O/6)³

Kugel

O = 4*pi*r² → r = √(O/(4*pi))

V = 4/3*pi*r³ = 4/3*pi*√(O/(4*pi))³

Wie viel Prozent des Kugelvolumens beträgt das Würfelvolumen. (BMS Aufgabe Schweiz)

√(O/6)³ / (4/3*pi*√(O/(4*pi))³) = √(pi/6) = 0.7236 = 72.36%

Answer 2

Aus 6a²=4πr² kannst du durch Umstellen das Verhältnis a² / r² ermitteln.

Damit kannst du das Verhältnis a / r ausdrücken.

Damit kannst du a³/r³ ausdrücken und das nach a³ oder nach r³ umstellen.

Answer 3

O Kugel = 4 * pi * r²
O Würfel = 6 * a²

4 * pi * r² = 6 * a ²
4 / 6 * pi * r² = a²
a = r * 1.4472
--------------------------

V Kugel = 4/3 * pi * r³
V Würfel = a³ = ( r * 1.4472 ) ³

V Kugel zu V Würfel
( 4/3 * pi * r³ ) / ( r * 1.4472 ) ³
1.382
Hiernach ergibt sich das V Kugel das 1.382
fache von V Würfel iist.
Oder
Es ergibt sich das V Würfel das
1/ 1,382 = 0.7236 fache von V Kugel ist
72.36 %