Kugel mit Durchmesser d=40 cm wird mit 10 g Gold gleichmässig überzogen. Stereometrie

Question

Aufgabe:

3.) Eine Kugel mit Durchmesser d=40 cm wird mit 10 g Gold gleichmässig überzogen. (Gold wiegt 19,3 g pro cm3) Wie dick wird die Goldhaut?

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei so einer Aufgabe vor? Kann mir jemand die lösen? Habe morgen eine Prüfung darüber und verstehe es leider nicht.

Answer 1

Hallo

Oberfläche O der Kugel berechnen,O*d=Volumen Gold, allerdings ist das nur eine sehr gute Näherung, exakt ist:

Volumen der Kugel mit r+d minus Volumen der Kugel mit r ergibt Volumen des Goldes. allerdings kommt man damit auf eine Gleichung dritten Grades für d, ich denke das ist nicht gefragt, und da das Goldvolumen ja sehr klein ist ist die Dicke mit der ersten Formel sehr genau.

Gruß lul

Comments

allerdings kommt man damit auf eine Gleichung dritten Grades für d
die allerdings sehr leicht lösbar ist

und deshalb kann man  ich denke das ist nicht gefragt  nicht wirklich behaupten.

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Man darf wissen, dass man ruhig über die Oberfläche nähern kann, wenn die Schichtdicke gegenüber dem Kugelradius sehr klein ist.

Wenn man jetzt noch beachtet das die 10 g Gold und die Dichte von Gold auch nur gerundet angegeben wurden ist es tatsächlich völlig unnötig hier mit der Differenz zweier Kugelvolumen zu rechnen.

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Ob es denn  tatsächlich völlig unnötig  ist, sieht man allerdings erst, nachdem man beide Rechnungen durchgeführt hat.

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Man darf wissen, dass man ruhig über die Oberfläche nähern kann, wenn die Schichtdicke gegenüber dem Kugelradius sehr klein ist.

Wenn ich also die Schichtdicke erstmal über die Oberfläche annäher und den Prozentualen Anteil am Radius bestimme kann ich darauf doch sicher schon in etwa auf die Genauigkeit der Lösung schließen. Ohne das jetzt genau auszurechnen gibt es da sicher eine Abschätzung.

Answer 2

p = m/V → V = m/p = 10 / 19.3 = 100/193 cm³

Schichtdicke über die Differenz zweier Kugelvolumen
V = 4/3·pi·(R^3 - 20^3) = 100/193 → R = r = 20.00010308
s = 20.00010308 - 20 = 0.00010308 cm

Schichtdicke über Näherung über die Oberfläche
V = 4·pi·20^2·s = 100/193 → s = 0.00010308 cm

Man sieht hier recht gut das es hier im Rahmen der Messungenauigkeit egal ist ob man es über das Kugelvolumen macht oder über die Näherung über die Oberfläche.