Lineare Gleichungssysteme Kupferhütten aus drei Legierungen, Lösungsmenge mit Gauss-Verfahren bestimmen

Question

Im Maschinenbau werden Federn und Membranen oft aus Kupferlegierungen hergestellt, die 90% Kupfer, 5% Zink und 5% Zinn enthalten. Kupferhütten bieten verschiedene Legierungen an. Zur Auswahl stehen nun drei Legierungen A, B und C, die sich in der Zusammensetzung unterscheiden.
Der Anteil dieser Größen in diesen Legierungen ist der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen

                                A       B       C
Kupferanteil in %     80     95      80
Zinkanteil in %         20     0       10
Zinnanteil in %         0       5       10

a) Stelle ein LGS auf, mit dem man entscheiden kann, ob sich die gewünschte Legierung aus den drei angebotenen zusammenschmelzen lässt.

b) Bestimme die Lösungsmenge dieses LGS mit Hilfe des GAUSS-Verfahrens

c) Welche Massen (in kg) der vorhandenen Legierungen müssen bestellt werden, um 5 Tonnen der gewünschten Legierung herstellen zu können?

d) Angenommen, es werden jeweils 1000 kg von Legierung A und C sowie 5000 kg von Legierung B bestellt. Wie viel kg der gewünschten Legierung könnte man damit maximal produzieren? Und welchen Kupfer-, Zink-und Zinnanteil hat dann die Legierung, wenn man die Reste der Legierungen A und B zusammenmischen würde?

Answer 1

Die Legierung basiert auf

\( 0.8 \; a + 0.95 \; b + 0.8 \; c = 0.9 \;  \left(a + b + c \right) \)

\(0.2 \; a + 0 \; b + 0.1 \; c = 0.05 \;  \left(a + b + c \right) ,\)

\( a + 0.05 \; b + 0.1 \; c = 0.05 \;  \left(a + b + c \right)  \)

und daraus die Matrix

\(A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{10}&\frac{1}{20}&-\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\\-\frac{1}{20}&0&\frac{1}{20}\\\end{array}\right)\)

soweit mal die Starthilfe...