Anzahl der Zuschauer im Stadion mit Exponentialfunktion f(x) = 20x·e^{2-0,05x}

Question

Zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang

Kann mir jemand die ganze Aufgabe lösen am besten mit Rechenweg damit ich es verstehe.

Die Funktion f mit f(x) = 20x·e^{2-0,05x} soll verwendet werden, um näherungsweise die Anzahl der Zuschauer zu beschreiben, die pro Minute zu einer bestimmten Uhrzeit in ein Fußballstadion kommen. Der Wert x = 0 entspricht der Uhrzeit 16 Uhr. Das Spiel fängt um 18 Uhr an.

a) Bestimmen Sie, um wie viel Uhr der Besucherandrang an den Eingängen am größten ist, wenn man als Modell die Funktion f zugrunde legt.

b) Bestimmen Sie mithilfe der Funktion f, wie viele Zuschauer bei Anpfiff des Spiels ungefähr im Stadion sind, wenn man davon ausgeht, dass das Stadion um 16 Uhr noch leer ist.

c) Wie viele Zuschauer kommen von 16 bis 18 Uhr durchschnittlich pro Minute ins Stadion?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wann ist der Besucherandrang am größten?

Stichworte: funktion

Funktion f(x)= 20x*e^2-0,05x  beschreibt näherungsweise die Anzahl der Zuschauer die pro Minute zu einer bestimmten Uhrzeit ins Stadion kommen. x= 0 entspricht 16 Uhr. Das Spiel beginnt um 18 Uhr.

 1) Bestimmen Sie, um wieviel Uhr der Besucherandrang am größten ist.

Ansatz:

f'(x)= (20-x)*e^2-0,05x 

Das würde ich dann =0 setzen, wenn meine Ableitung überhaupt richtig ist.

Aber wie kriege ich e usw. weg?? Komme da nicht weiter

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Vom Duplikat:

Titel: Wie viele Zuschauer sind bei Anpfiff im Stadion?

Stichworte: exponentialfunktion,integral

Aufgabe:

Funktion f(x)= 20x*e2-0,05x  beschreibt näherungsweise die Anzahl der Zuschauer die pro Minute zu einer bestimmten Uhrzeit ins Stadion kommen. x= 0 entspricht 16 Uhr. Das Spiel beginnt um 18 Uhr.

Zeige das F(x)= (-400x-8000)*e^2-0,05x   eine Stammfunktion von f ist und berechne, wie viele Zuschauer bei Anpfiff im Stadion sind, wenn man davon ausgeht, dass es um 16 Uhr noch leer ist.

Problem/Ansatz:

Als Stammfunktion kriege ich da -400(x+20)*e^2-0,05x  raus, aber das kann doch nicht sein oder?

Und dann ein Integral, aber von 0 bis 120, da ja 2 Stunden ..

Aber wie mache ich das nochmal??

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:D

wo finde ich denn jetzt das Duplikat??

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Habe dich zum ausführlichen "Original" umgeleitet.

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ok, dann habe ich die Lösung, danke.. trotzdem weiß ich nicht wie ich auf die 20 komme beim umstellen :(

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(20 - x) = 0  | + x

20 = x . Vgl. heutige Antwort von Wolfgang und Text der Antwort von 2018.

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Nach dem Satz vom Nullprodukt darfst du jeden Faktor etrennt gleich Null setzen

e^(2 - 0.05·x)·(20 - x) = 0

e^(2 - 0.05·x) = 0 → Die e-Funktion wird nie Null → keine Lösung

20 - x = 0 → x = 20

Answer 1

Bei a) geht es um das Maximum von f.

f ' (x) = (20 -x) *e^{2-0,05x} Gleich 0 setzen gibt x=20.

Da ist die einzige Stelle, an der ein Extremwert sein kann, also

ist hier das gesuchte Maximum.

Also 20 Minuten nach 16 Uhr ist der Andrang am größten.

b) Das musst du das Integral von 0 bis 120 über die Funktion f berechnen.

Ich bekomme da  -400(x+20)*e^{2-0,05x}  als eine Stammfunktion und

von 0 bis 120 also den Wert von etwa 58086. So viele sind dann da.

c) Wenn in 120 Minuten 58086 gekommen sind, dann sind das

im Durchschnitt  58086/120 ≈ 484 pro Minute.

Comments

wie bist du auf die ableitung gekommen ?

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Wie haben Sie die c gelöst

Wieso muss man das durch 120 rechnen?

Answer 2

b)

Vorab :
Du hast eine falsche Stammfunktion aufgestellt
f(x) = 20 * e^{2-0,05x} 
∫ f(x) = 20 * e^{2-0,05x}  dx
20 * ∫  e^{2-0,05x}

20 * e^{2-0,05x} * -20
-400 * e^{2-0,05x}

deine Stammfunktion wäre richtig für
f(x) = 20 plus e^2-0,05x 

Comments

[ -400 * e^{2-0,05x} ] zwischen 0 und 120
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Answer 3

"Als Stammfunktion kriege ich da -400(x+20)*e2-0,05x  raus, aber das kann doch nicht sein oder?"

Hast du sie mal abgeleitet?

Erhältst du dann f(x) oder was anderes?

Übrigens sollst du keine "eigene" Stammfunktion bilden, sondern nur die vorgegebene ableiten.

Und dann ein Integral, aber von 0 bis wieviel?

Tut mir leid, aber ich weiß gerade nicht, wie viele Miunuten von 16 Uhr bis 18 Ihr vergehen...

Answer 4

Hallo Sara,

deine Ableitung ist richtig und dieses Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0  ist.

e^A > 0    →   x-20 = 0   →  x = 20

Gruß Wolfgang

Answer 5

beide Stammfunktionen sind gleich. -400*x = -400x und -400*20 = -8000

Die Stammfunktion muss die Bedingung F(0)=0 erfüllen. Dies ist nicht der Fall. Somit musst du den Wert der Integrationskonstante ändern.