Wahrscheinlichkeitsrechnung Binominalverteilung Stochastik

Question

Ich weiß nicht wie ich an folgende Aufgabe herangehen soll:

LeBron hat eine Trefferquote von 70%. Er wirft 100 mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei den 100 Versuchen mindestens 3mal HINTEREINANDER nicht trifft?

vielen Dank!

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Vom Duplikat:

Titel: Häufigkeit, Trefferquote, Wahrscheinlichkeit

Stichworte: stochastik,wahrscheinlichkeitsrechnung,gtr,binomialverteilung

Ich kann folgende Aufgabe nicht lösen:

LeBron hat eine Trefferquote von 70%. Er wirft 100 mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei den 100 Versuchen mindestens 3mal  hintereinander nicht trifft?

Und wie oft kommt es bei den 100 Würfen vor, dass er mindestens 3mal hintereinander nicht trifft?

vielen Dank!

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/568500/genau-dreimal-nicht-treffen

Answer 1

Modelliere die Versuchsreihe als stochastischen Prozess mit den vier Zuständen s0, s1, s2 und s3, entsprechend der Länge Fehlversuchskette, die hier beobachtet werden soll. Lege dazu eine passende Übergangsmatrix U und einen Startvektor v(0) fest, berechne den Verteilungsvektor v(100)=U^{100}*v(0), vielleicht mit einem GTR, der so etwas kann, und lies die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab. Eine mögliche Rechnung könnte so aussehen:

$$\begin{pmatrix}0.7&0.7&0.7&0.0\\0.3&0.0&0.0&0.0\\0.0&0.3&0.0&0.0\\0.0&0.0&0.3&1.0\end{pmatrix}^{100}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.097189\\0.029754\\0.009109\\0.863948\end{pmatrix}$$Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 86.4% trifft LeBron bei 100 Versuchen mindestens dreimal hintereinander nicht.

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Rechnung richtig ist?

In der Form habe ich noch nie eine Stochastik-Aufgabe gesehen. Hast du vielleicht irgendwelche Quellen?

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Vielen Dank für die Antwort! Eine Frage hab ich noch vergessen.

Wie oft kommt es bei den 100 Würfen vor, dass er mindestens 3 mal in Folge nicht trifft?

Dankeschön!

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Eine Frage hab ich noch vergessen. Wie oft kommt es bei den 100 Würfen vor, dass er mindestens 3 mal in Folge nicht trifft?

Hm... interessante Frage! Nehmen wir an, er trifft zufälligerweise gar nicht. Wie oft soll die darin enthaltene Dreierfehlfolge denn gezählt werden?

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Gute Frage... Dass er gar nicht trifft wäre 0.3hoch100 also gegen 0 (es ist ja auch LeBron ;))

Die Fragestellung alleine ist für mich schon schwierig...

Wie oft muss ich bei 100 Würfen damit rechnen, dass eine Fehlwurfserie von 3 oder mehr kommt (im Normalfall) bevor er wieder trifft.

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@racine_carrée: Stochastische Prozesse als Anwendung der Matrizenrechnung gehört bei uns (NRW) zum Stoff der Oberstufe (G8/GS mit GTR) und daher sollte dieses Thema also in jedem aktuellen Schulbuch zur Oberstufenstochastik ausführlich behandelt werden.

@zw1984: Kannst du noch den Originaltext der Aufgabe und die Quelle nachreichen? Vielleicht findest du unter dem englischen Stichwort "run" irgendetwas passendes zu deiner zweiten Frage.

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Finde ich sehr interssant, wenn ich Zeit habe, werde ich mich mal der Übergangsmatrix widmen.

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@az0815: der Run-Test sieht vielversprechend aus! Urnenmodell, bei dem ich in meinem Fall davon ausgehe, dass 70 schwarze Kugeln (die Treffer) und 30 rote Kugeln (daneben) drinnen sind. Ist die herangehensweise korrekt?

Answer 2

Verwende das Gegenereignis:Er trifft höchstens zweimal hintereinander nicht.

p(NT) = 0,3*0,7

p(NNT) = 0,3^2*0,7

N= Niete

T= Treffer

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Könntest du den Ansatz vielleicht mal etwas weiter ausführen? Immerhin wirft LeBron ja 100 mal...