bei b ) gibt es aber ein Problem. f hat auf dem Intervall [-1;1] eine Nullstelle, weshalb du zwei Teilintegrale berechnen musst. Die Nullstelle benutzt du dann als Grenze für deine Integrale, umso die Fläche berechnen zu können.
Weil sich diese Nullstelle von dieser Funktion, mit den meisten heutigen Taschenrechnern noch nicht berechnen lässt, kannst du es auch näherungsweise tun. Mit der Lambert W-Funktion ginge das zwar explizit, aber viele Rechner haben diese Funktion wiegesagt nicht.
Die Nullstelle kannst du näherungsweise, zum Beispiel mit Newton, bestimmen:
$$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$
Ich nehme den Startwert x_1=1 und erhalte:
$$ x_2=-0.6666666666666666\\ x_3=-0.8443662360909198\\ x_4=-0.8525898544004502\\ x_5=-0.8526055019573834\\ x_6=-0.8526055020137255\\ $$
Also man hat bei ungefähr x=-0,853 eine Nullstelle. Jetzt kann auch damit die Fläche berechnet werden:
$$ \Bigg|\int_{-1}^{-0,853}(2e^x+x)dx\Bigg|+\int_{-0,853}^{1}(2e^x+x)dx=\Bigg|\Bigg[2e^x+\frac{1}{2}x^2\Bigg]_{-1}^{-0,853}\Bigg|+\Bigg[2e^x+\frac{1}{2}x^2\Bigg]_{-0,853}^{1}\\[30pt]=\Bigg|\Bigg(2e^{-0,853}+\frac{1}{2}(-0,853)^2-\Big(2e^{-1}+\frac{1}{2}(-1)^2\Big)\Bigg)\Bigg|+\Bigg(2e^1+\frac{1}{2}1^2-\Big(2e^{-0,853}+\frac{1}{2}(-0,853)^2\Big)\Bigg)\\ \approx |(1,216-1,236)|+(5,937-1,216)=|-0,02|+4,721=0,02+4,721=4,741 $$
