Logarithmieren: Schnittpunkt und Schnittwinkel der Graphen? f_(1): y = e^{-x}, f_(2): y= 2e^x

Question

Aufgabe:

Bestimme Schnittpunkt und Schnittwinkel der Graphen von \( f_{1} \) und \( f_{2} \).

a) \( f_{1}: y=e^{x}, f_{2}: y=e^{3 x-2} \)
b) \( f_{1}: y=\ln (2 x-1), f_{2}: y=\ln (x+3) \)
c) \( f_{1}: y=e^{-x}, f_{2}: y=2 e^{x} \)
d) \( f_{1}: y=3^{x}, f_{2}: y=2^{-x} \)

Ansatz/Problem:

Es geht um Aufgabe c). Wie funktioniert das Logarithmitieren?

Answer 1

Hier der Ansatz zur Bestimmung des Schnittpunktes:

$$\begin{aligned} f_1(x) &= f_2(x) \\[5pt] \text{e}^{-x} &= 2\cdot \text{e}^{x}\quad\vert\quad\ln() \\[5pt] -x &= \ln(2)+x \\ &\dots \end{aligned}$$

Das Logarithmieren der ganzen Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus \(\ln()\) löst die Exponentialterme \(\text{e}^{(\,)}\) auf. Das Produkt auf der rechten Seite wird durch das Logarithmieren zu einer Summe.

Answer 2

$$ \begin{aligned} 3^x&= 2^{-x} &\quad &|\ln(.)\\ \ln(3^x)&=\ln(2^{-x})&\quad &|Logarithmusgesetze\\x\cdot \ln(3)&=-x\cdot \ln(2)&\quad &|+x\cdot \ln(2)\\0&=x\cdot (\ln(3)+\ln(2))&\quad &|Logarithmusgesetze\\0&=x\cdot \ln(3\cdot 2)=x\cdot \ln(6)&\quad &|:\ln(6)\\x&=0\end{aligned} $$

x in zB f1 eingesetzt ergibt:

$$ f_1(0)=3^0=1$$

Schnittpunkt S(0/1)

Schnittwinkel. Ableitungen bilden.

$$ f'_1(x)=\ln(3)\cdot 3^x\\ f'_2(x)=\ln\Big(\frac{1}{2}\Big)\cdot 2^{-x} $$

$$ f'_1(0)=\ln(3)\cdot 3^0=\ln(3)\\ f'_2(0)=\ln\Big(\frac{1}{2}\Big)\cdot 2^{-0}= \ln\Big(\frac{1}{2}\Big)$$

Steigung in Grad umrechnen:

$$\beta_1= \arctan(\ln(3))\approx 47,69°\\ \beta_2=\arctan\Bigg(\ln\Big(\frac{1}{2}\Big)\Bigg)\approx -34,73° \\ \alpha=\beta_1+|\beta_2| = 82,42°$$

Answer 3

e^{-x} = 2 * e^x
1 = 2 * e^x * e^x
1 / 2 = e^{2x} | ln
ln ( 1/2 ) = 2x
x = ln ( 1/2 ) / 2
x = -0.346...

Comments

x = ln ( 1/2 ) / 2

f ( x ) = e^{-x}
f ´( x ) = e^{-x} * -1
f ´( x ) = - e^{-x}
f ´( ln ( 1/2 ) / 2 ) =  - 1.4142
-54.74 °

g ( x ) = 2 * e^x
g ´( x ) = 2 * e^x
g ´( ln ( 1/2 ) / 2 ) = 1.4142
54.74 °

Schnittwinkel
109.47 °

---

Schnittwinkel
109.47 °

Der Schnittwinkel zweier Geraden ist immer kleiner als 90° meine ich.

Also: 180°-109,47°=70,53°

Gruß

---

hallo smitty,
leider kann ich dir nicht sagen ob als
Schnittwinkel immer der Winkel
< 90 °  gilt

mfg Georg

---

ich habe gerade mal in meinen Mitschriften aus dem Unterricht nachgeschaut und habe gesehene, dass als Schnittwinkel Funktionen der kleiner definiert ist.

Gruß

---

hallo smitty,

ich habe bei Google unter " Schnittwinkel geometrie "
nachgeschaut.

Als Schnittwinkel wird meist der kleinere dieser beiden kongruenten Winkel bezeichnet, der dann spitz- oder rechtwinklig ist. Da Nebenwinkel sich zu 180° ergänzen, lässt sich der größere Schnittwinkel, der dann stumpf- oder rechtwinklig ist, aus diesem ermitteln.