Berechnen Sie xs ubd den Schnittwinkel in xs.

Question

Aufgabe:

Schnittpunkt und Schnittwinkel

Die Funktion f1 und f2 der Schar fa(x)= a²x*e^(-ax) schneiden sich im Ursprung und an der Stelle xs>0 des 1. Quadranten. Berechnen Sie xs ubd den Schnittwinkel in xs.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin beim Üben an ein paar Aufgaben gestoßen, wir haben gerade die Funktionenscharen angefangen, ich habe echt Probleme diese Aufgaben zu lösen.

Wenn jemand Zeit und Lust hat, den Vorgang mir verständlich zu erklären, wäre ich sehr dankbar:)

Answer 1

Die Funktion f1 und f2 der Schar \(fa(x)= a^{2}*x*e^{-a*x}\) schneiden sich im Ursprung und an der Stelle xs>0 des 1. Quadranten. Berechnen Sie xS  und den Schnittwinkel in xS.

\(f(x)=x*e^{-x}\)       \(g(x)=4*x*e^{-2*x}\) 

\(4*x*e^{-2*x}=x*e^{-x}\)

\(4*x*e^{-2*x}-x*e^{-x}=0\)

\(x*e^{-x}*(4*e^{-x}-1)=0\)

\(x₁=0\)

\(e^{-x}≠0\)

\(4*e^{-x}-1=0\)

\(4-e^{x}=0\)     \(ln(e)=1\)

\(xS=ln(4)\)

Tangentensteigungen:

\(f´(x)=e^{-x}+x*e^{-x}*(-1)\)

\(f´(ln(4))=e^{-ln(4)}-ln(4)*e^{-ln(4)}=\frac{1}{4}-ln(4)*\frac{1}{4}=\frac{1}{4}*(1-ln(4))\)

\(g´(x)=4*e^{-2*x}+4x*e^{-2*x}*(-2)=4*e^{-2*x}-8x*e^{-2*x}=e^{-2*x}*(4-8x)\)

\(g´(ln(4))=e^{-2*ln(4)}*(4-8*ln(4))\)

\(g´(ln(4))=0,0625*(4-8*ln(4))\)

tan(α)=|\( \frac{m₂-m₁}{1+m₁*m₂}| \)

Answer 2

Die Funktion f1 und f2 der Schar fa(x)= a²x*e^(-ax) schneiden sich im Ursprung

und an der Stelle xs>0 des 1. Quadranten.

Es gilt also f1(xs) = f2(xs)  mit a=1 und bzw. a=2  also

==>   x*e^(-x) =  4x*e^(-2x)

==>   4x*e^(-2x) - x*e^(-x) = 0 

==>x * (  4e^(-2x) - e^(-x) )= 0

==>x=0    oder   4e^(-2x) =  e^(-x)   | :   e^(-x) 

==>x=0    oder   4e^(-x) =  1

==>x=0    oder   e^(-x) =  1 / 4

==>x=0    oder   x =  ln(4)

Schnittwinkel mit der 1. Ableitung.