Ebene, Gerade, Schnittpunkte, Schnittwinkel und Abstände berechnen?

Question

Hallo könnte mal jemand über meine Rechnungen drüber schauen? Bin extrem unzufrieden vom Gefühl her da die Lösungen gefühlt so seltsam und irgendwie auch identisch sind.

Hab ich irgendwo Fehler drin oder muss das scheinbar so sein und es ist richtig.

Aufgabe:

1. Gegeben ist ein achsenparalleler Quader ABCD EFGH (D ist im Ursprung) mit einer Breite von 3 cm (xRichtung), einer Grundfläche von \( 12 \mathrm{~cm}^{2} \) (in der xy-Ebene) und einem Volumen von \( 60 \mathrm{~cm}^{3} \).
(a) Ein Balken \( B_{1} \) werde durch den Punkt A (vorn, links, unten) und den Mittelpunkt der Kante FG (oben rechts) gezogen. Ein weiterer Balken \( B_{2} \) gehe von B zur Mitte der hinteren Seite DCGH. Berechnen Sie den Abstand der beiden Balken voneinander.
(b) Der Punkt D und der Balken \( B_{1} \) spannen die Ebene \( E_{1} \) auf. Geben Sie eine Gleichung der Ebene \( E_{1} \) an. Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel von \( E_{1} \) und dem Balken \( B_{2} \)
(c) Berechnen Sie den Abstand aller Eckpunkte des Quaders zur Ebene \( E_{1} \).

Lösungen:

Comments

Was ist genau gemeint mit:

Ein weiterer Balken \( B_{2} \) gehe von B zur Mitte der hinteren Seite DCGH. Berechnen Sie den Abstand der beiden Balken voneinander.

Ist dies gemeint?

Ein weiterer Balken \( B_{2} \) gehe von B zur Mitte von GH. Berechnen Sie den Abstand der beiden Balken voneinander.

'vorne', 'hinten', 'oben', 'unten' sind keine Lagebezeichnungen aus der Sprache der Geometrie. In diesem Falle genügen Benennungen von Punkten mit großen Buchstaben. Die zugehörige Skizze gibt dann die erforderlichen Hinweise.

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Ne ist ist der Mittelpunkt von DCGH gemeint.

Und dann ja der Abstand der beiden Balken.

Ja das ist glaube nur für uns zur Orientierung gewesen um die Punkte an die richtigen Orte zu legen.

Answer 1

Hallo,

wenn dort steht:

"... zur Mitte der hinteren Seite DCGH"

dann interpretiere ich das als 'Seitenfläche'. Die Mitte der Fläche \(DCGH\) liegt bei \((0|\,2|\,2,5)\). Somit komme ich auf die Geradengleichungen der beiden Balken:$$b_1:\quad \vec x= \begin{pmatrix}3\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix}-1,5\\ 4\\ 5\end{pmatrix}, \quad\quad b_2:\quad \vec x = \begin{pmatrix}3\\ 4\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ -2\\ 2,5\end{pmatrix}$$Bem. die X-Koordinate des Richtungsvektor von \(b_1\) ist negativ! Als Abstand \(d\) habe ich \(d \approx 1,64\).


bei b) hast Du leider mit dem falschen Vektor von \(b_1\) weiter gerechnet. Ich habe:$$E_1: \quad -5y+4z=0$$und der Schnittpunkt mit \(b_2\) ist offensichtlich der Mittelpunkt \(M\) der 'hinteren' Seitenfläche \(DCGH\).
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Mache immer(!) eine Skizze. Dann hättest Du auch sofort gesehen, dass die X-Koordinate bei \(b_1\) in die falsche Richtung geht!
Gruß Werner

Comments

... und c) ist wirklich 'ne blöde Aufgabe! die Punkt \(A\), \(F\), \(G\) und \(D\) liegen in der Ebene, d,h, ihr Abstand ist \(=0\) und die anderen vier Punkte haben alle den gleichen Abstand \(e\). Und der ist $$e=\frac{4\cdot 5}{\sqrt{4^2+5^2}} \approx 3,12$$und dafür braucht man keine Vektorrechnung, sondern nur eine Skizze und einmal die Fläche eines Dreiecks.

Aber Dein Ergebnis ist richtig ;-)

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Okay danke schonmal.

Verstehe jetzt aber nicht genau warum der richtungsvektor bei B1(-1,5/4/5) ist und nicht (1,5/4/5) weil der MP von FG doch (1,5/4/5) ist.

Und bei B2 verstehe ich auch nicht warum (-3/-2/2,5) ist weil der MP von DCGH ja (0/2/2,5) ist. Wie kommt man darauf? Vorallem auf die -3?

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Okay danke schonmal.

Verstehe jetzt aber nicht genau warum der richtungsvektor bei B1(-1,5/4/5) ist und nicht (1,5/4/5) weil der MP von FG doch (1,5/4/5) ist.

Und bei B2 verstehe ich auch nicht warum (-3/-2/2,5) ist weil der MP von DCGH ja (0/2/2,5) ist. Wie kommt man darauf? Vorallem auf die -3?

Und sind die rechenwege wenigstens richtig für Schnittpunkt und schnittwinkel oder wird das auch anders berechnet?

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Verstehe jetzt aber nicht genau warum der richtungsvektor bei B1(-1,5/4/5) ist und nicht (1,5/4/5) weil der MP von FG doch (1,5/4/5) ist

Der Richtungsvektor von \(b_1\) geht vom Punkt \(A\) zum Punkt \(M_{FG}(1,5|\,4|\,5)\). Es kommt dabei nicht darauf an, wo \(M_{FG}\) liegt, sondern wo er relativ zum Anfangspunkt (hier \(A\)) des Vektors liegt.

Schau doch mal auf die Szene (wenn Du auf das Bild klickst, kannst Du sie mit der Maus drehen und besser sehen). Der Richtungsvektor von \(b1\) verläuft doch gegen die X-Richtung - siehst Du das?

Und bei B2 verstehe ich auch nicht warum (-3/-2/2,5) ist weil der MP von DCGH ja (0/2/2,5) ist. Wie kommt man darauf? Vorallem auf die -3?

das gleiche gilt für \(b_2\). Die \(-3\) kommt zustande, da man vom Punkt \(B\) \(3\)LE gegen die X-Richtung zurücklegen muss, um zur Fläche \(CDGH\) zu gelangen.

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Und sind die rechenwege wenigstens richtig für Schnittpunkt und schnittwinkel oder wird das auch anders berechnet?

Dein Ergebnis für \(E_1\) ist korrekt. Du hättest die Gleichung \(-15y+12z=0\) einfach nochmal durch \(3\) dividieren können. Das ändert nichts an \(E_1\); das ist die gleiche Ebene.

Das Ergebnis ist deshalb richtig, weil Dein 'falscher' Vektor von \(b_1\) genauso in \(E_1\) liegt wie der richtige. Deshalb das gleiche Ergebnis.

Bei der Winkelrechnung ist nur falsch, dass Du den falschen Richtungsvektor gewählt hast. Das kann man auf einer Skizze sehen!

Vielelicht sollte man das Ergebnis der Winkelberechnung noch in Betragsstriche setzen. Ein Winkel Gerade zu Ebene wird i.A. nur im Bereich von \([0,\,90°]\) angegeben.

Die Rechnung für die Abstände Punkte zu \(E_1\) ist ebenfalls korrekt.

Ganz wichtig: es ist IMHO gar nicht mal so wichtig, ob Du alles richtig gerechnet hast, sondern, dass Du die Aufgabenstellung, die Rechnungen und auch die Zwischen- und Endergenisse mit einer bildlichen/geometrschen Darstellung in Verbindung bringen kannst! D.h. Du musst diese Dinge 'sehen' können. Das ist das entscheidende an diesem Fach!

Dazu gehört auch, dass ein Vektor(Pfeil) im Raum (oder in der Ebene) von seinem (Pfeil-)Anfang bis zu seinem (Pfeil-)Ende verläuft. Unabhängig davon wo er sich befindet.

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Okay! Dankeschön für die ausführliche Hilfe :)