Hallo und willkommen in der Mathelounge,
stelle zunächst die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf:
\( g: \;\vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}2-1 \\ 1-0 \\ 4-2\end{array}\right) \)
\( g:\; \vec{x} =\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \)
Koordinaten von C einsetzen:
\(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5 \\ y \\ 10\end{array}\right)\)
Die 1. und 3. Zeile liefern:
1 + r = 5 ⇒ r = 4
2 + 2r = 10 ⇒ r = 4
Setze 4 für r in die 2. Zeile ein: 0 + 4 = y
Also hat C die Koordinaten (5|4|10)
Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat die Koordinaten P (3|0|0)
Aufstellen der Geradengleichung durch A und P
\( g_{1}: \;\vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right) \)
Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden kannst du bestimmen mit
\( \cos (\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)= 1\cdot2+1\cdot 0+2\cdot (-2)=-2 \)
\( |\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6} \)
\( |\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+0+4}=\sqrt{8} \)
\(cos(\alpha)=\frac{-2}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{8}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}\\\alpha=arccos(-\frac{\sqrt{3}}{6})=106,78°\)
Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.
Gruß, Silvia
