Wie groß ist der Winkel zwischen diesem Vektor und der y-Achse?

Question

Aufgabe: Geben Sie einen Vektor a der Länge 30 an, der mit der
z-Achse den Winkel von 20° und der x-Achse den Winkel von 60° einschließt.
Wie groß ist der Winkel zwischen diesem Vektor und der y-Achse?

Problem/Ansatz: ich habe Verständnis Schwierigkeiten und weiß einfach kicht mehr weiter…

Comments

Stelle fest, dass cos^2(20°) + cos^2(60°) > 1 ist und kontrolliere die Aufgabenstellung oder brich ab.

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Ich setze mal voraus, dass 60° richtig sind.

Wenn der Vektor in der x-z-Ebene läge, wäre der Winkel γ zwischen dem Vektor und der z-Achse 90°-60°=30°.

Lässt man nun den Vektor um die x-Achse rotieren, bleiben die 60° gleich während γ größer als 30° wird und damit niemals 20°.

Daher kann es keine Lösung geben.

Answer 1

Du suchst einen Vektor \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) mit cos 20°=\( \frac{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}}{30\cdot 1}\) und cos 60°=\( \frac{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}}{30 \cdot 1}\)

Bestimme aus diesem Gleichungssystem x und z. Ergänze dann y so, dass

 \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) den Betrag 30 hat.

Answer 2

Hallo,

bei Vektoren und Winkeln bietet sich das Skalarprodukt an.

Der Einheitsvektor in Richtung der x-Achse ist

\( \vec{\imath}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

\(\vec a\cdot\vec{\imath}=|\vec a|\cdot|\vec{\imath}|\cdot\cos(60^\circ)\)

\(a_x=30\cdot 0,5=15\)

\(a_z\) kannst du entsprechend bestimmen.

\(a_y\) berechnest du mit

 \(|\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)  (*)

Den Winkel φ mit der y-Achse kannst du mit folgender Gleichung finden:

\(\vec a\cdot\vec{\jmath}=|\vec a|\cdot|\vec{\jmath}|\cdot\cos\varphi\)

PS:

Die Gleichung (*) hat mit den gegebenen Werten keine Lösung. Die Aufgabe ist nicht lösbar.

Answer 3

Nimm erst mal einen mit Betrag 1 , dann gilt

\( x= \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = cos(60°) = 0,5 \)

und \( z = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = cos(20°) = 0,9397 \)

Damit der Betrag 1 ist muss gelten 0,5^2 + y^2 + 0,9397^2 = 1  ==> y^2 = 0,1330

Da y>0 sein soll  y=0,3647

Also ist der Einheitsvektor mit diesen Winkeln \( \begin{pmatrix} 0,5\\0,9397\\0,3647 \end{pmatrix} \)

Der hat die Länge 1, muss also noch mal 30 genommen werden \( \begin{pmatrix} 15\\28,19\\10,94 \end{pmatrix} \)

Comments

Es muss y² =- 0,1330 heißen. Somit nicht lösbar.

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Dankeschön erstmal für den Lösungsansatz, aber ich verstehe nicht wie man auf die Zahl 0,1330 und 0,3647 kommt.

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Tut mir Leid. Das war verrechnet, siehe Kommentar.