Begründen warum der Schnittwinkel zwischen Zwei Geraden kleiner/größer ist, ohne Rechnen

Question

Aufgabe:

Auch die Gerade i: x ⃗= \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} \) + r•\( \begin{pmatrix} 6\\3\\4 \end{pmatrix} \) (r ∈ ℝ) schneidet die Gerade g.
Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Schnittwinkel zwischen i und g größer ist als der
Schnittwinkel zwischen g und ℎ.

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen, ich bereite mich aktuell auf mein mündliches Matheabitur vor und bin leider an dieser Aufgabe gescheitert. Mir wäre es zwar möglich die Aufgabe rechnerisch zu lösen, aber ohne leider nicht.

Gegeben habe ich zudem natürlich die Geraden g und ℎ . Letztere habe ich jedoch zuvor selbst aufgestellt.

g: x ⃗= \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} \) + t•\( \begin{pmatrix} 0\\4\\-3 \end{pmatrix} \) (r ∈ ℝ)

ℎ: x ⃗= \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\3\end{pmatrix} \) + s•\( \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix} \) (r ∈ ℝ)

Meine Idee wäre jetzt gewesen, dass man die Aufgabe eventuell grafisch lösen könnte? Die Geraden schneiden sich ja alle am selben Punkt P(1/-2/3)...

Wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe!

Comments

Die Aufgabe ist unvollständig widergegeben.

Übrigens: Geraden mit Schnittwinkel brauchen einen Schnittpunkt. Damit ist aber nichts über den Schnittwinkel gesagt.

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Ups irgendwie hat es mir da was weggehauen. Richtig wäre: Auch die Gerade i: ..... schneidet die Gerade g.

Ansonsten ist mir bewusst, dass damit nichts über de Schnittwinkel gesagt ist... Deswegen ja meine Frage, ohne Berechnung komme ich nicht weiter.

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Auchhier fehlt noch etwas:

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Schnittwinkel zwischen _ und _ größer ist als der
Schnittwinkel zwischen g und ℎ.

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Ach man ey, einen Moment

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Zwischen zwei Geraden gibt es immer zwei Schnittwinkel, die sich zu 180° ergänzen. Drei Geraden durch den gleichen Punkt bilden also 6 disjunkte Winkel, von denen sich immer 3 nebeneinanderliegende zu 180° ergänzen.

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Und wie lässt sich damit begründen, dass der Schnittwinkel zwischen i und g größer ist, als der zwischen h und g?

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Erstmal ergänze den Satz:

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Schnittwinkel zwischen _ und _ größer ist als der
Schnittwinkel zwischen g und ℎ.

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Habe ich oben korrigiert...

Es müsste also heißen: Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Schnittwinkel zwischen i und g größer ist, als der Schnittwinkel zwischen g und h.

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Die Gerade i kann gegenüber g und h so liegen

oder so liegen:

In jeden Falle gibt es einen Winkel zwischen i und g, der kleiner ist als einer zwischen g und h.

Answer 1

Hallo,

vollkommen ohne Rechnung geht es meiner Meinung nach nicht.

Wenn Kopfrechnen erlaubt ist:

Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren von g und i ist gleich Null. Der Schnittwinkel betragt also 90°.

Bei g und h ist das Skalarprodukt ungleich Null. Die Geraden schneiden sich so, dass zwei verschiedene Winkel entstehen, deren Summe 180° beträgt. Als Schnittwinkel wird immer der kleinere angesehen, der kleiner als 90° sein muss.

:-)