orthogonale Projektion auf das Bild einer 3x2 Matrix

Question

Folgende Aufgabe:

Sei A ∈ M(3 × 2, R). Zeigen Sie, dass die orthogonale Projektion P von R^3 auf

Bild (A) durch $$P = A(A^TA)^{−1}A^T$$ gegeben ist, sofern A^TA invertierbar ist.

Hat jemand vielleicht einen Ansatz für mich? Mir ist nicht ganz klar, wie ich P und A überhaupt in irgendeine Gleichheitsbeziehung bringe.

Comments

Hilft vielleicht Wikipedia? siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Allgemeinfall_2

Answer 1

Sei v aus Bild(A). Dann v=Ax für ein x aus R^2.

$$Pv=A (A^TA)^{-1}A^TAx= Ax=v. $$
Sei nun w aus orthogonalen Komplement von Bild(A), also <w,Ax>=<A^Tw,x>=0 für alle x. Daraus schließen wir A^Tw=0 (da <.,.> nicht ausgeartet).
$$Pw=A (A^TA)^{-1}A^T w =0$$