Ungleichung mit Betrag. |x-5| > 10. Lösungsmenge = leere Menge ?

Question

Ich weiss, dass wir in der Übung bei Lösungsmenge etwas anderes als die leere Menge hatten aber ich komme auf leere Menge. Hmm

VG :)

Answer 1

Ungleichung mit Betrag. |x-5| > 10. Lösungsmenge = leere Menge ?

Nein.

Ungleichung mit Betrag.

|x-5| > 10      
 
1. Fall x > 5

x - 5 > 10 

x > 15 , das ist immer grösser als 5

L_1 = (15, unendlich) 

2. Fall x < 5

- (x - 5) > 10

- x + 5 > 10

5 - 10 > x 

-5 > x   , das ist automatisch kleiner als 5

L_2 = (-unendlich, -5)

Insgesamt L = (-unendlich, -5) ∪ (15, unendlich) 

Einfacher: Geometrische Überlegung

[spoiler]

|x-5| > 10       beschreibt die Menge aller x, die von x=5 mehr als 10 Abstand haben.
Also die Menge aller x kleiner als -5 vereinigt mit der Menge aller x grösser als 15. 

Answer 2

1. Fall: x≥5

x-5 > 10

x >15

2. Fall:

x< 5

-(x-5) >10

-x+5 >10

x < -5

L = ]-oo;-5[ v ]15;+oo[

andere Schreibweise:

L = {x ∈R| x<-5 v x>15}