Funktion zweier Veränderlicher f(x,y) = x^{2} - xy + y^{2 }. Wertebereich bestimmen.

Question

Wie bestimme ich den Wertebereich zur Funktion

f(x,y) = x² - xy + y²  ?

EDIT: Erste Version: f(x) = x^{2} - xy + y^{2  }

Comments

Tipp: f(x,y)=(x-1/2·y)²+3/4·y²≥0.

Answer 1

f(x, y) = x^2 - xy + y^2

Kannst du vermuten/begründen was passiert wenn x und y sehr klein oder sehr groß werden?

Kann man deswegen eine untere Schranke vermuten?

Wie könnte man diese Schranke bestimmen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+x%5E2+-+xy+%2B+y%5E2

Lautet es wirklich

f(x) = x^2 - xy + y^2

f(x) = x^2 - xy + (y/2)^2 - (y/2)^2 + y^2

f(x) = (x - y/2)^2 + 3/4·y^2

Jetzt ist das minimum bei 3/4·y^2.

Comments

Sorry, ich meinte natürlich f(x,y).

In einer alten Prüfung ist nach dem Wertebereich der Funktion gefragt.

Aber wie bestimme ich diesen?

---

Wenn das Minimum der Funktion bei f(0, 0) = 0 liegt, dann ist der Wertebereich W = [0 ; ∞[

Answer 2

f(x) = x² - xy + y²  ist keine Funktion von 2 Veränderlichen . f(x) nennt nur die Veränderliche x. Der Wertebereich hängt vom Parameter y ab und besteht aus allen Zahlen oberhalb 3y²/4.

Comments

Sorry, ich meinte natürlich f(x,y).

---

Der Wertebereich besteht aus allen Zahlen in ℝ.

---

Wie das, wenn das absolute Minimum im Ursprung liegt?

---

Das ist eine berechtigte Frage. Tatsächlich ist der Wertebereich ℝ⁺ zusammen mit der 0.