Quadratische Gleichung 3x^2 -5x-2=0

Question

Wie löse ich diese gleichung

3x^2 -5x-2=0

Answer 1

Diese kannst du mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnen oder mit entsprechende Umformungen kann man auch die pq-Formel anwenden.

Mitternachtsformel: $$x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 3\cdot (-2)}}{2\cdot 3}=\frac{5\pm \sqrt{25+24}}{6}=\frac{5\pm \sqrt{49}}{6}=\frac{5\pm 7}{6}\\ \Rightarrow x_1=\frac{5-7}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \ \text{ und } \ x_2=\frac{5+ 7}{6}=\frac{12}{6}=2$$ 

pq-Formel: $$3x^2-5x-2=0 \ \ \ \mid :3 \\ x^2-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0\ \ \ \mid p=-\frac{5}{3}, \ q=-\frac{2}{3} \\ x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\frac{5}{6}\pm \sqrt{\left(-\frac{5}{6}\right)^2+\frac{2}{3}}=\frac{5}{6}\pm \sqrt{\frac{25}{36}+\frac{2}{3}} \\ =\frac{5}{6}\pm \sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{5}{6}\pm \frac{7}{6}\\ x_1=\frac{5}{6}- \frac{7}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3} \ \text{ und } \ x_2=\frac{5}{6}+ \frac{7}{6}=\frac{12}{6}=2$$

Answer 2

z.B durch die pq-Formel:

  3x² -5x-2=0  |:3

  x² -(5/3)x-2/3=0

x_1.2= 5/6 ± √ (25/36 +24/36)

x_1.2= 5/6 ± 7(6

x₁= 2

x₂= -1/3

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Mit der Mitternachtsformel:

$$x _ { 1,2 } = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$$

x_1.2= (5 ± √ 25 - 4*3 *(-)2)/(2*3)

x_1.2= (5 ± √(25 +24))/6

x_1.2= (5± 7)/6

mit dem gleichen Ergebnis.

Answer 3

Mit quadratischer Ergänzung:

\(\begin{aligned}3x^{2}-5x-2 & =0 & & |\,:3\\x^{2}-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3} & =0 & & |\,+\frac{2}{3}\\x^{2}-\frac{5}{3}x & =\frac{2}{3} & & \text{Bruchrechenregeln}\\x^{2}-2\cdot\frac{5}{6}x & =\frac{2}{3} & & |\,+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\text{ (quadratische Ergänzung)}\\x^{2}-2\cdot\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2} & =\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2} & & \text{binomische Formeln}\\\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2} & =\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2} & & \text{rechte Seite vereinfachen}\\\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2} & =\frac{49}{36} & & |\,\sqrt{\phantom{1}}\\x-\frac{5}{6} & =\pm\frac{7}{6} & & |\,+\frac{5}{6}\\x & =\frac{5}{6}\pm\frac{7}{6}\\x=\frac{5}{6}+\frac{7}{6}=2 & \vee\,x=\frac{5}{6}-\frac{7}{6}=-\frac{1}{3}\end{aligned}\)