Antwort mit KI erzeugt
a) Wofür stehen die einzelnen Terme auf der rechten Seite? Welche Werte dürfen die Parameter annehmen damit das Modell biologisch sinnvoll ist?
Die Gleichung für die Bevölkerungsgröße \(x_{t+1}\) im Zeitschritt \(t+1\) lautet:
\(x_{t+1} = x_t + ax_t - ux_t\)
- \(x_t\): Bevölkerungsgröße zum Zeitpunkt \(t\)
- \(a\): mittlere Geburtenrate pro Kopf und Generationszeit
- \(u\): Sterberate pro Kopf und Generationszeit
- \(ax_t\): Beitrag der Geburten zur Bevölkerungsgröße für die nächste Generation
- \(ux_t\): Beitrag der Sterbefälle zur Verringerung der Bevölkerungsgröße für die nächste Generation
Die Parameter \(a\) und \(u\) müssen folgende Bedingungen erfüllen, um biologisch sinnvoll zu sein: \(0 \leq a\) und \(0 \leq u\). Das bedeutet, dass sowohl die Geburtenrate als auch die Sterberate nicht negativ sein können, was biologisch sinnvoll ist, da negative Werte entweder eine negative Populationsgröße oder negative Geburten- bzw. Sterberaten bedeuten würden, was in der realen Welt nicht vorkommt.
b) Geben Sie die Bedingungen an für die Parameter \(a\) und \(u\), unter denen die Bevölkerungsgröße (a) wächst, (b) konstant bleibt und (c) ausstirbt?
Das Wachstum der Bevölkerung kann durch die Gleichung:
\(x_{t+1} = x_t + ax_t - ux_t = x_t(1 + a - u)\)
beschrieben werden.
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(a) Wächst: Die Bevölkerungsgröße wächst, wenn \(x_{t+1} > x_t\), dies tritt auf wenn \(1 + a - u > 1\), also \(a > u\).
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(b) Konstant: Die Bevölkerungsgröße bleibt konstant, wenn \(x_{t+1} = x_t\), dies findet statt, wenn \(1 + a - u = 1\), also \(a = u\).
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(c) Ausstirbt: Die Bevölkerungsgröße verringert sich (bis hin zum Aussterben), wenn \(x_{t+1} < x_t\), dies geschieht, wenn \(1 + a - u < 1\), also \(a < u\).
c) Wie entwickelt sich die Bevölkerung für beliebige Zeiten \(t\), wenn sie zur Zeit Null durch \(x_0\) gegeben ist? Geben Sie die rekursiv definierte Vorschrift nun als Funktion von \(t\) an.
Die Bevölkerungsgleichung kann rekursiv definiert werden durch:
\(x_{t+1} = x_t(1 + a - u)\)
Indem man die Gleichung wiederholt anwendet \(x_t = x_{t-1}(1 + a - u) = x_{t-2}(1 + a - u)^2 = \dots = x_0(1 + a - u)^t\), ergibt sich die Bevölkerungszahl zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) durch:
\(x_t = x_0(1 + a - u)^t\)
Dies zeigt, dass die Bevölkerungsgröße exponentiell wächst, schrumpft oder konstant bleibt abhängig von den Werten von \(a\) und \(u\) relativ zueinander.
