Hallo Alpay,
ich versuche mal eine Erklärung: Mal angenommen, Du hast drei Paare \((x_i;\, y_i)\) $$\begin{array}{cc} x_i & y_i \\ \hline 2 & 9,1 \\ 3 & 9,3 \\ 4 & 10,1 \end{array}$$ und suchst jetzt eine Gerade - bzw. lineare Funktion, die diese Punkte möglichst gut trifft. Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form: $$y(x)=m\cdot x + b$$ Setzt man ein \(x_i\) in die Geradengleichung ein, so erhält man \(y(x_i)= mx_i + b\). Das Ergebnis ist i.A. nicht \(y_i\), sondern zwischen \(y_i\) und \(y(x_i)\) legt ein Delta: $$\Delta_i = y(x_i) - y_i = mx_i + b - y_i$$ Eine Gerade die die Werte 'möglichst gut' trifft, ist die, bei der die Summe der Quadrate aller Abweichungen \(\Delta_i\) möglichst klein sein ist. Also muss folgender Ausdruck minimiert werden:
$$\sum_{i=1}^3 \Delta_i^2 = \sum_{i=1}^3 (mx_i + b - y_i)^2 \, \to \min$$ Um den Extremwert zu bestimmen wird die Summe nach den Variablen - in diesem Fall \(m\) und \(b\) - abgeleitet und die Ableitungen werden zu 0 gesetzt:
$$\begin{aligned} \frac{\partial \sum}{\partial m} &= \sum_{i=1}^3 2(mx_i + b - y_i) x_i = 0 \\ \frac{\partial \sum}{\partial b} &= \sum_{i=1}^3 2(mx_i + b - y_i) = 0\end{aligned}$$ Damit erhält man zwei Gleichungen nit den zwei Unbekannten \(m\) und \(b\). Das kann man noch etwas sortieren:
$$\begin{aligned} m \sum_{i=1}^3 x_i^2 + b\sum_{i=1}^3 x_i &= \sum_{i=1}^3 x_iy_i \\ m \sum_{i=1}^3 x_i + 3b &= \sum_{i=1}^3 y_i \end{aligned}$$ Mit den Daten von oben erhält man:
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^3 x_i^2 &= 2^2 +3^2 + 4^2 = 29 \\ \sum_{i=1}^3 x_i &= 2 +3 +4 = 9 \\ \sum_{i=1}^3 x_iy_i &= 2 \cdot 9,1 + 3 \cdot 9,3 + 4 \cdot 10,1 = 86,5 \\ \sum_{i=1}^3 y_i &= 9,1 + 9,3 + 10,1 = 28,5\end{aligned}$$ Einsetzen in das obige Gleichungssystem: $$\begin{aligned} 29 m + 9 b = 86,5 \\ 9 m + 3 b = 28,5 \end{aligned}$$ führt zu der Lösung: \(m=\frac12\) und \(b=8\). Das ganze nochmal als Graphik:
Die roten Punkte sind die \((x_i;\,y_i)\) von oben und die blaue Gerade ist der Graph der Funktion \(y=\frac12 x + 8\) .
Frage bitte nach, wenn Du etwas nicht verstanden hast oder Dir eine Information fehlt und sehe Dir bitte auch meine Antwort bei dieser Frage an https://www.mathelounge.de/571304/gezwungene-regressiongerade-durch-den-ursprung.
Gruß Werner
