Lage von Tetraeder und Gerade, Vektorrechnung

Question

Die Punkte A (5/9/3), B (6, 4,5, 10), C (3, 0, 4) und D (10, 6, 5) bilden ein Tetraeder.

Die Gerade g geht durch die Punkte P (4/2/0) und Q (8, 8, 8).

Es soll die Lage von g zum Tetraeder bestimmt werden. Dabei Durchstoßpunkte und die Länge der im Tetraeder verlaufenden Strecke bestimmt werden.

Mein Ansatz wäre hier für die Durchstoßpunkte jeweils Geradengleichungen für g und DA bzw. AB aufzustellen, was mit den zwei gegebenen Punkten ja möglich sein sollte. Für die Länge bin ich mir nicht sicher. Müsste man da aus den beiden Geradengleichungen eine Ebenengleichung bauen (wie?) und dann die Strecke bestimmen wie lang g durch die Ebene verläuft (wie?)? Wäre super wenn das jemand klären könnte...

Answer 1

Hallo

Die Gerade schneidet den T. in 2 Ebenen, ACD und ADB

 deren Gleichung brauchst du und damit schneidest du die Gerade. dann hast du 2 Punkte, deren Abstand du mit der üblichen Formel ausrechnest.

Gruß lul

Comments

Danke für die Erklärung, mein Ansatz kam wohl wieder aufgrund meinem mangelndem räumlichen Verständnis zustande. Könntest du mir eventuell noch sagen wie ich aus den drei Punkten jeweils die Ebenengleichung aufstellen kann? Hatte da noch etwas Probleme.

Answer 2

Nach dem lul mit Geogebra vorgelegt hat, lege ich mt CAS mal nach

X:=(x,y,z);

Normalengleichung einer Ebene n (X - p) = 0, Ebene aus 3 Punkten Ao,Bo,Co
Eo(X,Ao,Bo,Co):=((Bo-Ao)⊗(Co-Ao))(X - Ao)

Eabd:=Eo(X,A,B,D)*2/3=0
\(Eabd: \, 8 \; x + 22 \; y + 13 \; z - 277 = 0\)

Gerade durch P, Q: g(t): X = P + t \(\vec{PQ}\)
g(t):=P+ t (Q-P)

g x Eabd (Gerade in Eabd einsetzen)

Eo(g(t),A,B,D)*2=0

\(804 \; t - 603 = 0 => \left\{ t = 0.75 \right\} \)

Q':=g(3/4)

\(Q':=(7, 6.5, 6)\)

Eacd x g(t) => P'

|\(\vec{P'Q'}\)| = Länge der im Tetraeder verlaufenden Strecke

Comments

Ich kann dem leider kaum folgen und bekomme auch komplett andere und für die ABD auch komplett krumme Werte raus. Könntest du das eventuell nochmal deutlicher machen? Ich dachte ich muss Geraden- und Ebenengleichung aufstellen und diese dann jeweils gleichsetzen...

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Hallo

zu der cas Lösung kann ich nix sagen, an meiner Zeichnung kannst du sehen, welche Ebenen  du mit der Geraden schneiden musst. und schneiden ist gleichsetzen. Geraden. in koordinatenform kann man wenn sie gebrochen (also krumme) werte haben, mit dem Hauptnenner multiplizieren, dann werden sie ganz.

Gruß lul

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Deshalb hab ich ja mit 2/3 multipliziert um ganze Zahlen zu erhalten.

Wie hast Du die Ebene berechnet - zeigen...

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Habe als Schnittpunkte (7, 6.5, 6) und (6, 5, 4) und dann als Länge 2.6925 was mir etwas suspekt ist.

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Die Werte kann ich bestätigen..