Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene?

Question

ich bräuchte einmal eure Hilfe...

Und zwar ist meine Aufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene und Gerade und berechne ggf. den Schnittpunkt.

b)

E:x1-x2+2•x3-2=0

g:x=(-8/6/-3)+r•(5/-4/1)

(Sollen Vektoren darstellen)

Die Lösung ist S(2/-2/-1) doch kommt bei mir was gaaaanz anderes heraus....

Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte, was ich machen muss..

Also g in E einsetzen, doch kommt bei mir komplett was anderes heraus...

Lg.

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Das Bild zur Aufgabe

(klick auf das Bild)

Answer 1

g: X = [-8, 6, -3] + r·[5, -4, 1] = [5·r - 8, 6 - 4·r, r - 3]

E: x - y + 2·z - 2 = 0

Setze g in E ein und löse nach r auf

(5·r - 8) - (6 - 4·r) + 2·(r - 3) - 2 = 0 --> r = 2

Setze jetzt r = 2 in die Gerade ein um den Schnittpunkt zu erhalten

S = [-8, 6, -3] + 2·[5, -4, 1] = [2, -2, -1]

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Okay Dankeschön!

Doch wie komme

-22:11 sind doch -2?

Oder habe ich gerade einen Denkfehler?

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11r-22=0

11r=22

r=22/11=2

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Achsoooo okay, dass macht Sinn..

Dankeschön :)

Answer 2

Gegeben ist \(E: x_1-x_2+2x_3-2=0\) und \(g : \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8\\6\\-3\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 5\\-4\\1 \end{pmatrix}\). Setze \(g\) in \(E\) ein:$$-8+5t-6+4t+2(-3+t)-2=0 \Leftrightarrow 11t-22=0 \Rightarrow t=2$$ Dieses \(t\) setzt du jetzt in die Geradengleichung ein und erhältst$$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix} -8\\6\\-3\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix} 5\\-4\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\-2\\-1 \end{pmatrix}$$

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Dankeschön!!!