Gegenseitige Lage von Geraden im Raum untersuchen

Question

Man soll die gegenseitige Lage der Geraden g und h untersuchen und die Koordinaten des Schnittpunktes angeben

g:x=(3 6 4 )+r*(2 4 1); h:x=(1 0 3)+s*(2 3 -1)

Answer 1

gleichsetzen    (3 6 4 )+r*(2 4 1)=(1 0 3)+s*(2 3 -1)

gibt  3 +2r = 1+2s

6 + 4r =   3s     also s = 2 + 4/3 r   in 1. und 3. einsetzen

4 + r  =  3  - s

bei der 1. r=-3 und bei der  3.    r = -9/7   ( wenn ich mich nicht verrechnet

habe.) Das hieße:  Die Geraden sind windschief.

Comments

Sie sind windschief, hier der grafische Nachweis in 3d.

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Da das Modell beweglich ist, kann man feststellen, dass die Geraden windschief sind.

@Matheretter: Kannst du etwas machen, dass die Koordinatenlinien nur dort über die Gerade gezeichnet werden, wo die Gerade auf der unteren Seite der Grundebene liegen? Das Bild würde dreidimensionaler wirken.

Dazu müsstest du die ersten Spurpunkte berechnen.

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"Koordinatenlinien nur dort über die Gerade gezeichnet werden, wo die Gerade auf der unteren Seite der Grundebene liegen"

Das ist der Fall. Das heißt, nur wenn die Gerade unterhalb der "Nullebene" liegt, erscheint das Gitternetz darüber.

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Dann ist da wohl eine optische Täuschung. Ich sehe im Bild das Koordinatennetz überall über den beiden Geraden.

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Versuche es mit Firefox oder Chrome.

Resultat:

Answer 2

g:x=(3 6 4 )+r*(2 4 1); h:x=(1 0 3)+s*(2 3 -1)

Da (2 4 1)= k*(2 3 -1) 

keine Lösung hat, sind die Geraden nicht parallel.

Grund: 

2 = k*2 ==> k=1

4 = k*3 ==> 4/3 = k widerspricht k=1.

Nun musst du noch feststellen, ob ein gemeinsamer Punkt vorhanden ist. 

Je nach dem hast du es mit 2 windschiefen oder mit 2 sich schneidenden Geraden zu tun. 

Answer 3

Mal grundsätzlich merken:

$$  r \cdot  \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =   s \cdot  \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix}   $$
Existieren Paare (r,s), die diese Gleichung lösen, dann sind die Geraden zueinander parallel.
$$  \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}  + r \cdot  \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} d\\e\\f \end{pmatrix} + s \cdot  \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix}   $$
Existiert ein Paar (r,s), das diese Gleichung löst, dann gibt es einen Schnittpunkt.
$$    \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} =0  $$
Ist das Skalarprodukt der Richtungsvektoren Null, dann liegen die Geraden senkrecht zueinander.$$$$
Ist das alles nix, liegen die Geraden windschief.