wenn M∪N=M∪O und M∩N=M∩O, Beweis N=O

Question

wenn M∪N=M∪O und M∩N=M∩O, wie beweist man dann N=O?

Auch Tips wären hilfreich, eigentlich möchte ich die Aufgabe ja selber lösen :-)

Comments

Schneide die erste Gleichung mit M^C und vereinige dann mit der zweiten.

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leider verstehe ich es immer noch nicht... könnten Sie mir noch weiter helfen?

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leider verstehe ich es immer noch nicht

Das ist zu wenig. Du müsstest schon sagen, was genau du nicht verstanden hast.

Answer 1

du kannst ja zuerst mal die Voraussetzungen nennen: Sei x∈(M∪N), beliebig sowie x∈(M∩N), beliebig. Jetzt nimmst du an, dass N≠O gelte. Dann lässt sich doch sagen, dass es mindestens ein Element x gibt, was nicht in beiden Mengen enthalten ist.

Nun kannst du eine Fallunterscheidung machen, indem du zunächst x∈N und x∉O sowie x∉N und x∈O betrachtest. Bei beiden Fällen wirst du dann immer auf einen Widerspruch zur Voraussetzung gelangen, womit die Behauptung N=O folgt.

Answer 2

Sei n ∈ N.

Fall 1. n ∈ M∩O. Dann ist n ∈ O laut Definition von ∩.

Fall 2. n ∉ M∩O. Dann ist n ∉ M oder n ∉ O laut Definition von ∩.

Fall 2.1. n ∉ M. Wegen n ∈ N und laut Defintion von ∪ ist n ∈  M∪N. Wegen M∪N = M∪O ist n ∈ M∪O. Wegen n ∉ M und n ∈ M∪O ist n ∈ O laut Defintion von ∪.

Fall 2.2. n ∉ O. Wegen n ∈ N und laut Defintion von ∪ ist n ∈  M∪N. Wegen M∪N = M∪O ist n ∈ M∪O. Wegen n ∈ M∪O und n ∉ O ist n ∈ M laut Defintion von ∪. Wegen n ∈ M und n ∈ N ist n ∈ M∩N. Wegen M∩N = M∩O ist dann n ∈ M∩O. Laut Defintion von ∩ ist dann n ∈ O. Das ist ein Widerspruch zu n ∉ O.

Comments

Frage: hat man so wirklich gezeigt N => O und O => N? oder nur N=> O? wenn verlangt ist, N=O zu zeigen, dann muss es N<=>O sein, oder? Danke für die bisherige Antwort. Das habe ich verstanden

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Man hat so eigentlich nur N⊆O gezeigt. Die Folgerung, dass O⊆N ist, bekommt man durch Vertauschung von N und O.