Beweise die Aussage: M=N genau dann, wenn M∪N = M∩N (Mengenlehre)

Question

Aufgabe:

$$ M = N \Leftrightarrow M \bigcup N = M \bigcap N $$

Denkansatz:

Da M und N gleich sind, enthalten sie die gleichen Elemente und die gleiche Anzahl an Elementen. Bei der Vereinigung würde ich ja dementsprechend eine Menge erhalten, die alle Elemente von M oder N enthält und beim Durchschnitt dann eine leere Menge, da in beiden Mengen die gleichen Elemente enthalten sind.

Laut der Aussage passt das aber so nicht und ich würde gerne wissen, wo mein Denkfehler liegt.

Es wäre außerdem noch nett, wenn mir jemand die Aufgabe lösen würde, damit ich alles besser nachvollziehen kann.

Answer 1

Da M und N gleich sind, enthalten sie die gleichen Elemente und die gleiche Anzahl an Elementen.

Bei der Vereinigung würde ich ja dementsprechend eine Menge erhalten, die alle Elemente von M oder N enthält und beim Durchschnitt dieselbe Menge, da in beiden Mengen die gleichen Elemente enthalten sind. Eine Schnittmenge enthält ja nach Definition alle Elemente, die in beiden Mengen drinn liegen.
Bei M=N gilt MuN = M und MnN = M damit sind beide gleich.

Umgekehrt M u N = M n N bedeutet, dass es keine Elemente gibt, die nur in der einen aber nicht in der andern Menge liegen. Formal: M\N = {} und N\M = {}.
Deshalb M = N.