LP-Modell mit garantiertem Mischungsverhältnis von Mehl?

Question

Ich hab wieder mal ein Problem bei einem LP-Modell. Meine Angabe:

Müller Semmel füllt seine Mehrkornmehlmischungen in Säcke mit der Aufschrift mindestens 60kg. Das Mehl ist eine Mischung aus Sorte X und Sorte Y.
Damit das Mehl die Qualitätsansprüche erfüllt, muss jeder Sack mindestens 30 kg der Sorte X und nicht mehr als 40 kg der Sorte Y enthalten. Ein Kilo der Sorte X kostet die Bäckerei 0,05 GE und ein Kilo der Sorte Y 0,04 GE.
a) Formulieren Sie das Entscheidungsproblem als LP-Modell und stellen Sie das Problem graphisch dar! Kennzeichnen Sie den Lösungsraum und geben Sie an, welche Kombination aus Sorte X und Y für die Firma am besten ist!
b) Erweitern Sie das LP-Modell so, dass ein Mischungsverhältnis zwischen Sorte X und Y von 70:30 garantiert ist!

Mein Ansatz:

a)

ZF = 0,05x + 0,04y -> min [habe "am besten für die Firma" so interpretiert, dass die Kosten minimal sind?]

NB:
I) x + y >= 60 (damit mindestens 60kg Mehl im Sack sind)
II) x >= 30 (Qualitätsanspruch)
III) y <= 40 (Qualitätsanspruch
IV) y >= 0 (Nichtnegativitätsbedingung)

-> Schnittpunkte der NB mit den Achsen:
I: x = 0 -> y = 60 und y = 0 -> x = 60
II: x = 30
III: y = 40

Soweit, so klar. Wenn ich das Problem mit diesen Nebenbedingungen grafisch löse und die Zielfunktion einsetze, liegt mein Optimum im Schnittpunkt von I und II, ich bekomme also ein Mischungsverhältnis von genau 30 X und 30 Y. Macht ja auch Sinn, da X teurer ist und wir daher nicht mehr als unbedingt nötig verwenden sollten.

Meine Frage allerdings: Der Lösungsraum ist bei mir nach rechts hin offen. Das stimmt zwar mit der Fragestellung überein (da wir ja in die Säcke MINDESTENS 60kg füllen sollen, nicht GENAU 60kg), kommt mir aber komisch vor. Habe ich vielleicht eine Nebenbedingung übersehen?

Bei b) hapert es dann. Ich komm einfach nicht darauf, wie ich das Mischungsverhältnis in eine Nebenbedingung packen soll. Ich habe zwar schon einen Ansatz (IV: 70x + 30y = 100) aber diese Gerade liegt bei mir nicht einmal annähernd im Lösungsraum, also bin ich mir fast sicher, dass es eine andere Lösung gibt.

Answer 1

Da Du ein ein MIN-Problem betrachtest und die Lösung immer auf den Rändern des Modells liegt ergeben sich die 60 kg genau, da mehr auch mehr kostet. BTW. Das Mehl ist zu billig ;-)....

70%*60 = 42

es sollte also reichen x>=42 zu fordern ?

Berichte mal, was sonst unter b) gedacht sein sollte...

Comments

Das heißt, anstatt das Verhältnis direkt in eine NB zu packen, kann man es auch "verdreht" lösen und tatsächlich zuerst den gesuchten Zahlenwert berechnen? Das habe ich mir anfangs überlegt, dann aber verworfen, da es mir zu "un-mathematisch" vorkam, weil es eventuell bei einer anderen Angabe, z.B. einem MAX Problem, nicht funktionieren würde?

(Wobei man dann wahrscheinlich eine Obergrenze für den Sackinhalt hätte und wieder so rechnen könnte, indem man einfach die 70% vom Maximalinhalt nimmt... hmm.)

Mir kommt es irgendwie so vor, als ob ich "schummeln" würde, wenn ich das Verhältnis nicht in die NB packe . Kann aber sehr gut sein, dass ich einfach viel zu unlogisch denke?

b) ist damit zu Ende, die letzte Fragestellung im Beispiel ist c:

c) Wie ändert sich die optimale Lösung aus a) bei einem Mischungsverhältnis von 70:30, wenn ein Sack genau 60 kg wiegt?

Die optimale Lösung würde sich also von 30/30 auf 42/18 verschieben.

Kommt mir logisch vor!

[Bezüglich Mehlpreis hast du übrigens Recht - habe noch mal nachgeschaut, und es sind 4 und 5 GE  Die 0,04 und 0,05 sind vom Bsp, dass ich davor gerechnet habe!]

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Jetzt ist das Mehl zu teuer ;-)

Es heißt in b), dass Du das Mischungsverhältnis garantieren sollst und das tut das LP doch? Mir fällt dazu nix besseres ein - man könnte den Fussbannertext um den Spruch: "Das Problem ist zu einfach, um hinterfragt zu weden" ergänzen?

bei c) ändert sich nix, weil das Optimum eh auf den Rändern liegt - s.o.

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Vielleicht sinds Schweizer Franken ;)

Stimmt - kann ja kein Fehler sein, wenn man das Problem logisch betrachtet anstatt nur stur drauflos zu rechnen. Dann werde ich das mal so übernehmen!

Vielen Dank für deine Hilfe, und dir noch einen schönen Abend!

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Ja, Dir auch.

Wenn's Dich interessiert ich hab einen Artikel zum Optimieren/Simplex eingestellt...