Im dreidimensionalen Raum gibt es für zwei Geraden vier mögliche Lagen:
Die Geraden sind...
1) identisch
2) echt parallel
3) zwei sich schneidende Geraden
4) windschief
Um herauszufinden, welche der vier Lagen bei zwei gegebenen Geraden vorliegt, machen wir folgendes:
- Wir überprüfen, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden kollinear (= Vielfache voneinander) sind. Sind die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander, so sind die beiden Geraden entweder echt parallel oder identisch. Ansonsten schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief.
- Fall 1 (die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander): Um herauszufinden, ob die Geraden echt parallel oder identisch sind, setzt man einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden echt parallel.
- Fall 2 (die Richtungsvektoren sind nicht Vielfache voneinander): Um herauszufinden, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind, versucht man, einen Schnittpunkt zu berechnen. Lässt sich ein Schnittpunkt berechnen, schneiden sich die Geraden. Andernfalls sind die Geraden windschief.
Wir haben folgendes:
1) Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen
Im ersten Schritt untersuchen wir, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden kollinear, d.h. Vielfache voneinander, sind. Dazu überprüfen wir, ob es eine Zahl r gibt, mit der multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Geraden zum Richtungsvektor der ersten Geraden wird. $$\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}0=r\cdot 1 \\ 1=r\cdot 2 \\ 1=r\cdot 1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}r=0 \\ r=\frac{1}{2} \\ r=1\end{cases}$$ Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, handelt es sich entweder zwei sich schneidende Geraden oder um windschiefe Geraden. Um das herauszufinden, überprüfen wir rechnerisch, ob ein Schnittpunkt existiert.
2.) Auf Schnittpunkt prüfen
Vorgehensweise:
- Geradengleichungen gleichsetzen
- Parameter t und r durch das Additionsverfahren berechnen
- Berechnete Parameter in die verbleibende Gleichung einsetzen
Wir haben folgendes Gleichungssystem:
$$1+0\cdot t=0+1\cdot r \\ 2+1\cdot t=3+2\cdot r \\ 3+1\cdot t=5+1\cdot r$$ und bekommen: $$t=3 \ \text{ und } \ r=1$$ Wenn wir diese Werte in den drei Gleichungen einsetzen bekommen wir immer wahre Aussagen.
Es gibt somit einen Schnittpunkt. Daraus folgt, dass es sich um zwei sich schneidende Geraden handelt.
