Mengenlehre (1. Semester Studium) : Naive Mengenlehre - Postulate

Question

Die Postulate

(1) Eine Menge ist eine Zusammenfassung/Kollektion von Elementen.
x ∈ X   gesprochen: "x ist ein Element der Menge X."

(2) Eine Menge ist unverwechselbar durch ihre Elemente bestimmt.

(3) Eine Menge hat sich nicht selbst zum Element.

(4) Ist A eine Aussage über Elemente einer Menge X, so ist

\( \left\{ x\quad \epsilon \quad X\quad |\quad A\quad ist\quad wahr\quad für\quad x \right\} \) wieder eine Menge.


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Fragen 

zu (2) 
Wenn ich mich nicht irre, bedeutet das, dass eine Menge immer ihre eindeutigen Elemente enthält. Es kann also nicht sein, dass die Menge A plötzlich ein Element verliert und danach immernoch die Menge A ist. 

- Stimmt meine Überlegung / Interpretation?

zu (3) 
Sei A eine Menge

A = { 1,2,3,4,5,6 } 

Diese Menge A kann nebst ihren Elementen die sie enthält nicht auch noch sich selbst enthalten.
Also folgender Ausdrücke sind gemäss diesem Postulat unmöglich:


A = { 1,2,3,4,5,6, { A }  }
A = { 1,2,3,4,5,6, { 1,2,3,4,5,6 }  }

- Stimmt meine Überlegung / Interpretation?

zu (4) 

Eine Beispiel hierzu:

B = { x ∈ X | (x-1)² = 0 }

Die Aussage ergibt eigentlich die Lösungsmenge L = {1}.
Was bedeutet das jetzt? 
(a) Das 1 auch in der Menge B zwingend enthalten ist, oder dass B nebst ihren eitenlichen Elementen auch die Lösungsmenge entgält, also so:

B = { 1,2,3,4,5, {L} } = { 1,2,3,4,5, {1} } .

Danke ! 
 

Answer 1

Es kann also nicht sein, dass die Menge A plötzlich ein Element verliert und danach immernoch die Menge A ist.

Nein, das kann nicht sein. Schon nach Streichen nur eines Elementes entsteht eine neue Menge.

A = { 1,2,3,4,5,6, { A }  }  Eine solche Menge A kann es nicht geben.

Comments

A = { 1,2,3,4,5,6, { A }  }  Diese Menge kann es nicht geben. 

Warum nicht ?

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Dann würde gelten: A = { 1,2,3,4,5,6, { A }  } = { 1,2,3,4,5,6, { 1,2,3,4,5,6, { A } }  } =1,2,3,4,5,6, { 1,2,3,4,5,6, { 1,2,3,4,5,6, { A } } } und so weiter. Da sind die Mengen nicht mehr unverwechselbar durch ihre Elemene bestimmt.  Postulate müssen übrigens nicht bewiesen werden.

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A = { 1,2,3,4,5,6, { A }  } = { 1,2,3,4,5,6, { 1,2,3,4,5,6, { A } }  }

Dein zweites Gleichheitszeichen stimmt wohl nicht , denn mit A = { 1,2,3,4,5,6, { A }  }
ist  { 1,2,3,4,5,6, { 1,2,3,4,5,6, { A } }  } die Menge  { 1,2,3,4,5,6,  A  } und nicht
{ 1,2,3,4,5,6, { A }  }.

Richtig ist, dass der Fragesteller bei seinem " zu (3) " keine Menge angegeben hat, die sich selbst als Element enthält, die Nichtexistenz von  A = { 1,2,3,4,5,6, { A }  }  kann also nur mit Postulat (1) begründet werden.
Deine Argumentation würde im Kern aber auch auf die Menge  A = { 1,2,3,4,5,6,  A  }  zutreffen und es ergibt sich dann die Frage, wozu Postulat (3) überhaupt erforderlich ist.

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Edit :  Statt "Postulat (1)" in meinem Kommentar muss es "Postulat (2) " heißen.

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Uhh aufgrund diesen Kommentaren bin ich jetzt verwirrt ! :-/