Mengenlehre (1. Semester Studium) : Frage zu Komplement und zur symmetrischen Differenz.

Question

Ich habe in der Vorlesung Analysis 1 mitgeschrieben und habe festgestellt, dass mir bei der Nachbearbeitung etwas suspekt vorkommt. 

Ich habe also zwei Fragen

(1) Im Bild unter dem Titel Komplement habe ich diese Mitschrift gemacht: Für mich allerdings, sieht das eher nach einer Differenz aus und jetzt weiss ich nicht ob ich falsch mitgeschrieben habe oder der Prof sich verredet hat:

(2) Wieso werden bei der Symmetrischen Differenz - die ist mir klar - nicht Mengenklammern benutzt ? 


Bild

Answer 1

Hallo Limonade,

deine Mitschrift ist korrekt,

(1) Im Bild unter dem Titel Komplement habe ich diese Mitschrift gemacht: Für mich allerdings, sieht das eher nach einer Differenz aus und jetzt weiss ich nicht ob ich falsch mitgeschrieben habe oder der Prof sich verredet hat:

P \ Q  (= Elemente von P ohne die Elemente, die auch in Q liegen) ist ja eine Art "Differenz". Sie wird halt eben anders genannt.

(2) Wieso werden bei der Symmetrischen Differenz - die ist mir klar - nicht Mengenklammern benutzt ? 

Bei (P∪Q)  und  (P∩Q) stehen in den () bereits Mengen.

Die Klammern bei  (P∪Q) \ (P∩Q)   bezeichnen nur den Vorrang der Mengenoperatoren  ∪ und ∩  bzgl.  \

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank, 

(1)
Aha, dann habe ich mit diesem Venn Diagramm des Komplements im Bild alles ausser Q und ausser den Elementen die ausserhalb von P vereinigt mit Q liegen. Stimmt das? Somit wäre die obige Menge das Komplement von Q?

P\Q = Q^c = {x | x ∈ P und x ∉ Q } 

(2)
Aha! Das heisst, Ich benutze die geschweiften Klammen nur wenn ich Elemente umklammere. 

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Aha, dann habe ich mit diesem Venn Diagramm des Komplements im Bild alles ausser Q und ausser den Elementen die ausserhalb von P vereinigt mit Q liegen. Stimmt das?

Nein:

Elemente von P ohne die Elemente, die auch in Q liegen

Das trifft deine Beschreibung nicht.

Somit wäre die obige Menge das Komplement von Q?

Das Komplement von Q bzgl. P 

Wenn P und Q  z.B. in einer Obermenge M liegen, ist der Bezug sonst unklar.

P \ Q = Q^c = {x | x ∈ P und x ∉ Q } 

Hier fehlt der Bezug zu P

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Für P \ Q werden auch die Bezeichnungen  "Differenzmenge" und "Differenz"   benutzt.

https://www.mathebibel.de/differenzmenge

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Wie schreibe ich, wenn ich es im Bezug auf P meine, also was wäre die richtige Notation? 

Ich versuchs in Worten: 

Seien P und Q Mengen. 

Dann heisst das Komplement von P, alles was in Q enthalten ist aber nicht in P enthalten ist.  

Ist das jetzt P^Q oder Q^P ?

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Dann heisst das Komplement von P, alles was in Q enthalten ist aber nicht in P enthalten ist. 

Das wäre dann Q \ P

Warum willst du das unbedingt anders schreiben?

Q^c  ist die Komplementmenge von Q, wenn die Bezugsmenge klar ist.

Das c steht für "complement" (Ergänzung, Vervollständigung)

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Danke ! Jetzt habe ich es geschnallt!

Answer 2

Schau doch mal im Internet nach. Zum Beipiel hier: https://www.mathebibel.de/komplement

Answer 3

Hallo limonade,

herzlichen Glückwunsch zum angefangenen Mathe/Pädagogik-Studium. Du hast Dich also getraut. Ich wünsche Dir viel Erfolg dabei.

(1) Die Ausdrücke 'Differenz' und 'Komplement' in Kontext der Mengenlehre besagen das gleiche. Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Definitionen.

(2) Die Mengenklamern kann man schreiben oder auch nicht. Ganz profan ist doch $$M = \{x \mid x \in M\}$$ beide Ausdrücke links und rechts vom Gleichheitszeichen besagen doch das gleiche. Dein Prof hat lediglich den Klammerausdruck $$(P \cup Q ) \setminus (P \cap Q) = \{ x \mid ((x \in P) \lor (x \in Q)) \land \neg ((x \in P) \land (x \in Q)) \}$$ nicht hin geschrieben.