E[ (X1+X2+X3) * (X1-X2-X3) ] bestimmen

Question

ich habe folgenden Aufgabenstellung:
X₁,X₂,X₃ sind u.i.v  mit E(X₁) = 2 und Var(X₁) = 3

es soll E((X1+X2+X3) * (X1-X2-X3)) bestimmt werden.

Ich hab folgendes gemacht:

Sei Y die Zufallsvariable Y:= X1+X2+X3 und Z:= X1-X2-X3
dann ist gesucht: E(Y * Z)

In einer Teilaufgabe vorher wurde bewiesen, dass E(X * Y) = E(X) * E(Y) ist.
Daher hab ich
= E(X1+X2+X3) * E(X1-X2-X3)
=^{Linearität d. EW} (E(X1)+E(X2)+E(X3)) * (E(X1)-E(X2)-E(X3))
Da X_1,2,3 unabhängig und identisch verteilt sind:
=> 3*E(X1) * (-*E(X1))
= 3*2*(-2)
= 6* (-2)
=-12
= E(Y*Z)

Wofür benötige ich die Varianz? Und das Ergebnis scheint ja auch irgendwie nicht zu stimmen, da E(Y*Z) < 0 ist

Answer 1

$$ E[(X_1+X_2+X_3)  (X_1-X_2-X_3)] = E( X_1^2 ) - E(X_2^2) -2 E(X_2) E (X_3) - E(X_3^2)  = -2 E(X_2) E (X_3) - E(X_3^2) $$

Wegen $$ \text{Varianz}(X_1) = 3 $$ folgt $$ E(X_1^2) =\text{Varianz}(X_1) + E(X_1)^2 = 3+4=7 $$

Also

$$ E[(X_1+X_2+X_3)  (X_1-X_2-X_3)] = -8 -7 = -15 $$