Hallo,
ich schreibe für \(X_1\) und \(X_2\) jeweils \(X\) und \(Y\)
sind \( X\) und \(Y\) unabhängig, dann auch \(X^2 \) und \(Y^2\). Dann folgt
\( V(XY) = E((XY)^2)-E(XY)^2 \overset{X\perp Y}{=} E(X^2Y^2)-(E(X)E(Y))^2 \overset{X^2\perp Y^2}{=} E(X^2)E(Y^2) - E(X)^2E(Y)^2\)
\( = E(X^2)E(Y^2) \underbrace{- E(X^2)E(Y)^2-E(X)^2E(Y^2) + E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)}_{=0}+ E(X)^2E(Y)^2 -2E(X)^2E(Y)^2\)
\( = (E(X^2)-E(X)^2)(E(Y^2)-E(Y)^2) +E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)-2E(X)^2E(Y)^2\)
\( = V(X)V(Y) + E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)-2E(X)^2E(Y)^2\)
\( = V(X)V(Y) + (E(X^2)-E(X)^2)E(Y)^2 + (E(Y^2)-E(Y)^2)E(X)^2 \)
\( = V(X)V(Y) + V(X)E(Y)^2 + V(Y)E(X)^2 \)