Berechnen Sie E[X] und E[X2] statistik

Question

Aufgabe:

Die von einer Maschine für einen bestimmten Arbeitsvorgang benötigte Zeit sei eine Zufallsvariable
X, für deren Dichtefunktion in Abhängigkeit von einem Parameter ϑ ∈ [0, 2] die Gestalt
f(x) = 
ϑ + 2(1 − ϑ)x , x ∈ [0, 1]
0 , sonst
unterstellt wird.

Berechnen Sie E[X] und E[X2]
  (Lsg: E[X] = 2/3 - 1/6ϑ,   Var[X] = 1/36 (2 + 2ϑ − ϑ^2)

Problem/Ansatz:

Ich kann die Lösungen einfach nicht nachvollziehen und die Rechenwege bekommen wir nicht.

Bitte kann mir jemand helfen die Aufgabe zu lösen bzw. mir die Rechenwege erklären wie man auf diese Lösungen kommt.

Danke

Answer 1

Im Grunde sind die Rechnungen ja immer die gleichen.

∫ (0 bis 1) (ϑ + 2·(1 - ϑ)·x) dx = 1

E(X) = ∫ (0 bis 1) (x·(ϑ + 2·(1 - ϑ)·x)) dx = 2/3 - 1/6·ϑ

E(X²) = ∫ (0 bis 1) (x^2·(ϑ + 2·(1 - ϑ)·x)) dx = 1/2 - 1/6·ϑ

V(X) = ∫ (0 bis 1) ((x - (2/3 - 1/6·ϑ))^2·(ϑ + 2·(1 - ϑ)·x)) dx = -1/36·ϑ^2 + 1/18·ϑ + 1/18

Etwas komisch finde ich das E(X2) gefragt ist ich dachte hier an E(X²) dann aber offensichtlich in der Antwort die Varianz steht. Naja.

Comments

habs falsch aufgeschrieben gemeint ist auch E[X^2]. Ist die Lösung auch dafür ?

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Ja. Hab oben auch die Lösung dafür notiert.