Zeigen Sie: V(X1·X2) = V(X1) · E(X2)^2 + E(X1)^2 · V(X2) + V(X1) · V(X2)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Sind X₁ : Ω → ℝ und X₂ : Ω → ℝ unabhängige Zufallsvariable, für die jeweils
die Varianz existiert, dann gilt
V(X₁·X₂) = V(X₁) · E(X₂)² + E(X₁)² · V(X₂) + V(X₁) · V(X₂)

Problem/Ansatz:

V(X₁·X₂) = E((X₁·X₂ - E(X₁·X₂))² = E((X₁·X₂ - E(X₁) · E(X₂))²  da X₁ und X₂ unabhängig

Nun komme ich allerdings nicht weiter. Könnte mir da jemand helfen?

Danke im Voraus

Gruß

Answer 1

Hallo,

ich schreibe für \(X_1\) und \(X_2\) jeweils \(X\) und \(Y\)

sind \( X\) und \(Y\) unabhängig, dann auch \(X^2 \) und \(Y^2\). Dann folgt

\( V(XY) = E((XY)^2)-E(XY)^2 \overset{X\perp Y}{=} E(X^2Y^2)-(E(X)E(Y))^2 \overset{X^2\perp Y^2}{=} E(X^2)E(Y^2) - E(X)^2E(Y)^2\)

\( = E(X^2)E(Y^2) \underbrace{- E(X^2)E(Y)^2-E(X)^2E(Y^2) + E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)}_{=0}+ E(X)^2E(Y)^2 -2E(X)^2E(Y)^2\)

\( = (E(X^2)-E(X)^2)(E(Y^2)-E(Y)^2) +E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)-2E(X)^2E(Y)^2\)

\( = V(X)V(Y) + E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)-2E(X)^2E(Y)^2\)

\( = V(X)V(Y) + (E(X^2)-E(X)^2)E(Y)^2 + (E(Y^2)-E(Y)^2)E(X)^2 \)

\( = V(X)V(Y) + V(X)E(Y)^2 + V(Y)E(X)^2 \)

Comments

Hallo, danke für die Hilfe. Kannst du bitte noch kurz erklären, was du hier in den zwei Schritten machst?

\( E(X^2)E(Y^2) - E(X)^2E(Y)^2\)
\( = E(X^2)E(Y^2) \underbrace{- E(X^2)E(Y)^2-E(X)^2E(Y^2) + E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)}_{=0}+ E(X)^2E(Y)^2 -2E(X)^2E(Y)^2\)
\( = (E(X^2)-E(X)^2)(E(Y^2)-E(Y)^2) +E(X^2)E(Y)^2+E(X)^2E(Y^2)-2E(X)^2E(Y)^2\)

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Im ersten Schritt wird ja nur 0 addiert.

Im zweiten Schritt wurde nur zusammengefasst. Versuche mal alles auszuschreiben und überzeuge dich davon, dass Gleichheit gilt.

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Das mit dem Null addieren habe ich verstanden, aber wo kommt

-2E(X)²E(Y)² her ?

Achso, das ist damit du \(- E(X)^2E(Y)^2\) bekommst, oder?

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\( -1 =  1 - 2 \) also ist

\( -E(X)^2E(Y)^2 = E(X)^2E(Y)^2 - 2E(X)^2E(Y)^2 \)