Beweise naive Mengenlehre

Question

Hi,
ich tue mich im Moment mit dem Beweisen folgender Aussagen schwer:
Sei M Menge, zeige:
a) ∀A,B∈ Pot(M) : A⊆B⇔M\B⊆M\Ab) ∀A,B∈Pot(M): A∪B=A∩B⇔A=B
c) ∀A,B,C∈Pot(M): ((A⊆C)∧(C⊆B))⇔A∪B⊆C
Klar ergeben diese Aussage mit einem Venn-Diagramm Sinn, aber wie ich das schriftlich zeigen kann, weiß ich nicht :(Äquivalenz kann man ja aufspalten: (X⇔Y)⇔((X⇒Y)∧(Y⇒X)) und die Gleichheit von Mengen beweist man über: (X=Y)⇔((X⊆Y)∧(Y⊆X))
Z.B. bei a)
A⊆B⇒M\B⊆M\A
Sei x∈A⇒x∈B⇒x∉M\B∧x∉M\A
Sei x∈B∧x∉A⇒x∉M\B∧x∈M\A
Sei x∉B∧x∉A⇒x∈M\B∧x∈M\A
Daran erkennt man, dass zwar M\B⊆M\A gelten muss, aber ich halte das eben für viel zu umständlich.
(Nun müsste die Implikation auch noch in die andere Richtung gezeigt werden)
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Grüße

Answer 1

Z.B. bei a)
A⊆B⇒M\B⊆M\A
Sei x∈A⇒x∈B⇒x∉M\B∧x∉M\A
Sei x∈B∧x∉A⇒x∉M\B∧x∈M\A
Sei x∉B∧x∉A⇒x∈M\B∧x∈M\A

Du brauchst ja nicht unbedingt alle Fälle durchzugehen,

sondern es geht wohl auch so:Beh:    A⊆B⇒M\B⊆M\A

Sei also A⊆B und  x ∈ M\B.

also x ∉ B und wegen A⊆B

also auch  x ∉ A , damit x ∈ M\A .

Damit ist  M\B⊆M\A  gezeigt.

Comments

Hi mathef,
Vielen Dank für deine Antwort :)
M\B⊆M\A=>A⊆B
Sei x∈A=>x∉M\A⇒x∉M\B (wegen der Teilmenge)⇒x∈B
Wäre ja dann die Implikation in die entgegengesetzte Richtung, oder?
Ich denke mal in der vorletzten Zeile sollte es bei dir: "also auch x∉A" heißen?

Wäre bei b)
AuB=AnB<=>A=B
1. AuB=AnB=>A=B
1.1 AuB=AnB=>A⊆B
1.2 AuB=AnB=>B⊆A
2. A=B=>AuB=AnB
2.1 A=B=>AuB⊆AnB
2.2 A=B=>AnB⊆AuB
Die kürzest mögliche Aufspaltung des Beweises?

Grüße

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Ich denke mal in der vorletzten Zeile sollte es bei dir: "also auch x∉A" heißen?

Genau, hab ich korrigiert.