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Aufgabe:

Sei E eine feste Menge und A, B ∈ P(E). Dann gilt:

A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ E\B ⇔ B ⊂ E\A.

Die Äquivalenz ist zu beweisen.


Problem/Ansatz:

Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, daraus habe ich folgende Umformung geschlussfolgert:

{ \({x| (x∈A ∧ x∉B) ∨ (x∉A ∧ x∈B)} \) }

Per Def: A\B ∨ B\A

Nach der Voraussetzung ist A, B ∈ P(E) also A⊂P(E) und B⊂P(E)

Und hier ist der Punkt wo ich nicht mehr weiter weiß. Die Frage ist, wie kann ich mit logischen Zeichen die Äquivalenz zwischen meiner Folgerung und A ⊂ E\B zeigen? Hat da vielleicht jemand eine Idee? Rein logisch ergibt es ja Sinn, da A ⊂ E ist und B nicht enthalten soll, mir fehlt da einfach die Schreibweise.


MfG

David

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1 Antwort

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Beste Antwort

Vielleicht so:

\(A\cap B=\emptyset \iff \lnot\exists x\in E:\; x\in A\wedge x\in B\iff \)

\(\forall x\in E:\; \lnot(x\in A\wedge x\in B)\iff \)

\(\forall x\in E:\; \lnot (x\in A)\vee (x\notin B)\iff \)

\(\forall x\in E:\; x\in A\rightarrow x\notin B\iff A\subset E\backslash B\).

Aus Symmetriegründen gilt auch die zweite Äquivalenz.

Avatar von 29 k

Vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort. Das hilft mir wirklich weiter .D

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