Beweise in der Mengenlehre a) A\B=A∩(M\B), wobei A,B ∈ P(M)

Question

Aufgabe:

Es seien M eine Menge und A,B ∈ P(M). Zeigen Sie

a) A\B=A∩(M\B)

b) A∩B=A genau dann, wenn A⊆B

c) A∪B=B genau dann, wenn A⊆B

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass wir uns bisher nie darüber unterhalten haben, wie man solche Zusammenhänge beweisen kann und ich daher in keinster Weise weiß, wie ich hier vorgehen zu habe. Ich hoffe jemand könnte mir das erklären.

MfG Adrien

Answer 1

A\B=A∩(M\B)

Mengengleichungen beweist man meistens so:

Sei x aus der 1. Menge , dann ist es auch in der 2. und umgekehrt.

Dabei die Definitionen für die entsprechenden

Mengenverknüpfungen benutzen:

Sei also x∈A\B

==>    x∈A   und  x∉B

Da beides Teilemengen von M sind also auch

==>    x∈A   und   x∈M   und  x∉B    genauer

==>    x∈A   und  ( x∈M   und  x∉B )

==>   x∈A   und   x∈M\B

==>   x∈A∩(M\B).

Die umgekehrte Richtung entsprechend.

Comments

vielen Dank, für deine Antwort !

Ich habs so auf jeden Fall schon einmal verstanden. Ich habe gerade nach langem Suchen noch folgende Def. im Skript gefunden :

Sind p(x) und q(x) Aussageformen und die Mengen A := {x : p(x)} und B := {x : q(x)}
gegeben, dann gilt:
A ∪ B = {x : p(x) ∨ q(x)}
A ∩ B = {x : p(x) ∧ q(x)}
A\B = {x : p(x) ∧ ¬q(x)}

Kann man die Aufgabe auch mit Hilfe dieser Def. und einer Wahrheitstabelle lösen, denn bisher haben wir solche immer zu rate gezogen, wenn es um Beweise ging.

LG