f: P(X) → P(X), M I--> X\M . Zeige, dass f bijektiv ist und bestimme die Umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

Es sei \( X \) eine Menge und \( f \) eine Abbildung der Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \) nach \( \mathcal{P}(X) \) gegeben durch die Zuordnung

\( M \mapsto X \backslash M \)

Zeigen Sie, dass \( f \) bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion von \( f \).

Was genau ist denn die Funktion? Ich habe ja nur eine Zuordnung?

Comments

Wenn du keine Funktion gegeben hast, was ist dann:

f: P(X) --> P(X), M I-->  X\M ??

Answer 1

Die Funktion ordner jeder Menge ihre Komplementärmenge zu. Da die <komplementärmenge jeder Menge wieder dir ursprüngliche Menge ergibt, kannst du direkt die Umkehrfunktion angeben.

Nämlich f = f^{-1}

f: P(X) --> P(X), M I-->  X\M .
Wenn man das gemacht hat, ist automatisch gezeigt, dass f bijektiv ist.

Comments

Also bedeutet f: P(x) -> P(x) nichts anderes als P(x)=P(x)?
Und wie kommst du auf die Komplementärmenge? Ich bin noch im ersten Semester und blicke hier noch nicht ganz durch (die Schreibweise ist gewöhnungsbedürftig)

Danke für deine Hilfe

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M I-->  X\M
Bedeutet, dass der Menge M die 'Grundmenge X ohne M' zugeordnet wird. Das ist die Komplementärmenge.

Achtung: Mengen wie X und M werden i.d.R. mit Grossbuchstaben bezeichnet.

P(X) bedeutet Potenzmenge der Menge X. Also die Menge aller Teilmengen der Grundmenge X.

Bei der Definition einer Funktion ist immer anzugeben, was die Urbild- und die Bildmenge ist (einfacher Pfeil) und wie die Zuordnungsvorschrift lautet (Pfeil mit vertikalem Anfang oder eine Funktionsgleichung f(M) := X\M.

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Was ich noch nicht ganz verstehe ist folgendes:

Wir haben die Zuordnung M |---> X \ M gegeben.

Wie genau soll ich mir das vorstellen? Wenn jetzt X := {1,2,3} und M := {1,3} ist, wäre die Zuordnung dann
{1,3} |---> {2}? Muss bei der Zuordnung nicht etwas sein was in etwa so aussieht:

x |---> x² oder
x |---> 2x

So könnte ich mir ja eine Funktion vorstellen, aber wenn da nur Zaheln sind weiß ich nicht wie ich mir die Funktion vorzustellen habe ... Ich glaube wenn ich das verstehe, dann kann ich auch verstehen warum die Funktion/Abbildung bijektiv ist!

lg, sr50

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Was du hier offenbar bereits kennst, sind 'nur' Funktionen von R --> R

f: R--> R, x |---> x²         (nicht surjektiv und nicht injektiv)

oder
f: R --> R, x |---> 2x          (surjektiv und injektiv, also bijektiv)

Aber du kannst auch von Funktionen sprechen, wenn das eine Zuordnung von {Autos} ---> {Marken} ist.So was ist natürlich nicht umkehrbar, sobald 2 Autos der gleichen Marke in der Urbildmenge sind.

Lies nochmals die allgemeine Definition von Funktionen in deinen Unterlagen.

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Ja und vorher weiß ich genau wann etwas bijektiv ist wenn ich nicht die genaue Menge gegeben habe? Ich habe ja nur die Mengen X und M gegeben, aber weiß halt nur, das es sich um Mengen handelt. Wie könnte man den bei deinem Beispiel ermitteln ob 2 Autos der gleichen Marke in einer der Mengen enthalten sind wenn die Automarken nicht aufgeführt werden?

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Die Potenzmenge der Menge aller Autos ist mir hier zu gross.

Nimm mal die 10 Autos auf dem Parkplatz als X.

Die Potenzmenge P(X) von ist nun die Menge aller Mengen, die du mit diesen Autos machen kannst.

Eine solche Menge M enthält alle Audis. Die Bildmenge X\M sind nun die Nichtaudis.

Eine andere Menge N enthält alle Nichtaudis. Die Bildmenge X\N sind dann die Audis.

usw. jede Menge A hat eine eindeutig bestimmte Komplementärmenge X\A.
Vorausgesetzt, dass keines der Autos wegfährt.

Man kommt daher ohne weiteres von der Komplementärmenge X\A wieder zurück zur Menge A. D.h. die Bildung der Komplementärmenge ist eine bijektive Funktion auf der Potenzmenge P(X).

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Achso! M ist also eine Teilmenge von X. Okay , dann verstehe ich das.