Integralrechung Füllen eines Aquariums. b)+c) bitte

Question

Hi, ich versteh nicht die Aufgabe b) +c), wie soll ich die Grundfunktion bestimmen, erfahren habe ich, dass die 3x ist oder wie kommt man drauf und wie kann man ohne das integral die Wirkungsfunktion bestimen. Ich wäre sehr dankbar für eine ausführliche Hilfe.

Answer 1

die 3x ergeben sich durch die durchschnittliche Wassermenge pro Sekunde. Wenn Du a) gelöst hast, weißt Du, dass insgesamt 360 Liter eingelaufen sind, diese durch 120 Sekunden geteilt ergibt 3.

Das Integral brauchst Du hier nicht unbedingt, da die Graphenabschnitte, um die es geht, linear sind, es ist also möglich, den Flächeninhalt unter dem Graphen, mit Hilfe der Formeln für rechtwinklige Dreiecke und Rechtecke zu berechnen.

Aber jetzt mal Schritt für Schritt:

a) Gefragt: Wasserstandshöhe nach 2 Minuten; Tabelle: eingelaufene Liter nach jeweils 10 Sekunden

Ich beginne mit dem offensichtlichen: Zeit 40-100 Sekunden

4l pro Sekunde für 60 Sekunden : 60*4=240 <- entspricht auch dem Quadrat der Einheiten oder dem Flächeninhalt unter dem Graphen

Nun der Beginn: Zeit 0-40 Sekunden

Wir haben 40 Sekunden und kommen bis zur 4l heran, dies sind die Katheten im rechtwinkligen Dreieck, daher gilt für den Flächeninhalt: $$ \frac{40*4}{2} $$  $$ \frac{40*2}{1} $$ oder 80l

Nun das Ende: Zeit 100-120 Sekunden

Wir haben 20 Sekunden und kommen von 4l bis 0l, wieder in die Katheten umgedacht: $$ \frac{20*4}{2} $$

$$ \frac{20*2}{1} $$ oder 40l

240+80+40=360

Es sind also insgesamt 360 Liter eingeflossen, ich Weiß, das steht soweit auch irgendwie auf deinem Zettel.

Es ist aber nach der Höhe gefragt, also noch schnell umgerechnet: 120cm*60cm*60cm=12dm*6dm*6dm

12*6*h=360  ; umformen nach h

$$h=\frac{360}{12*6}$$ $$h=\frac{30}{6}$$ $$h=\frac{5}{1}$$ oder 5, also beträgt die Füllhöhe 5dm oder 50cm.

Die Werte für die Tabelle

Zeit	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
Liter	0	5	20	45	80	120	160	200	240	280	320	350	360

b) Naja, Graph dazu zeichnen der sieht in etwa so aus:

 

c: Nach meinem Verständis nach ist das mit den Teilabschnitten und den Funktionen so gemeint:

f₁(x)=x/10 für 0≤x≤40

f₂(x)=4 für 40≤x≤100

f₃(x)=-(x/5)+24 für 100≤x≤120

( die +24; der Graph soll durch (100/4) gehen also setze ich ein

4=-(100/5)+b nach b umstellen

b=24)

und

W₁(x) für 0≤x≤40 Kathete 1 : x; Kathete 2 : x/10

$$W_{1}(x)=x*\frac{x}{10}*\frac{1}{2}=\frac{x^2}{20}$$

W₂(x) für 40≤x≤100 4l/pro Sekunde und die bereits vom anderen Graphen erfassten 80 Liter abziehen

W2(x)=4x-80

W₃(x) für 100≤x≤120 Kathete 1 : x; Kathete 2 : -x/5 

somit haben wir erstmal $$x*-\frac{1}{5}*x*\frac{1}{2}=-\frac{1}{10}x^2$$

Jetzt ist das hier mit dem Schnitt mit den anderen Achsen so eine Sache, einfach mal einen Wert abziehen und das passt, geht hier nicht. Wir wissen aber der Scheitelpunkt der Parabel ist (120/360), bei x=120 soll nämlich die Pumpe nichts mehr Pumpen und der Funktionswert soll 360 Liter annehmen. Die Scheitelform einer Parabel ist a(x-d)²+e, dabei ist in deinem Beispiel a=-1/10; d=120; e=360

also: $$W_{3}(x)=-\frac{1}{10}(x-120)^2+360$$

Wenn man will, kann man das auch noch ausklammern, zunächst binomische Formel anwenden

$$=-\frac{1}{10}(x^2-240x+14400)+360$$

ausmultiplizieren

$$=-\frac{1}{10}*x^2+24x-1440+360$$

zusammenfassen

$$=-\frac{1}{10}*x^2+24x-1080$$

Hoffe du kommst da jetzt besser durch, frag', wenn Du noch was brauchst.

Comments

vielen vielen dank für die tolle und ausführliche erklärung, ich versteh nun nicht ganz die diese komischen Computer zeichen. Und könnten Sie mir villeicht nochmal erläutern wie der graph zustande gekommen ist, bei b), ist er praktisch aus teiles der Funktionen von W entstanden?

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Der Graph bei b), ja, den habe ich aus W, so wie ich sie in c) hergeleitet habe, zeichnen lassen, die Farben sind die jeweiligen Einzelfunktionen, du sollst ihn aber laut Aufgabe der Wertetabelle folgend zeichnen, mein Graph sollte nur eine Idee liefern.

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Wie sind sie auf die Funktion W1 gekommen Kathete x; Kathete 10/x.

Das kann ich nicht nachvollziehen.

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Da steht x/10 oder auch 1/10 * x; vielleicht verwirren Dich die Doppelpunkte. Die 1/10 * x ist die Steigung, die Du auch schon heraus gefunden hast.

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Ja, aber ich versteh nicht wie man ohne Integrieren auf die Funktion kommt

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Da ist nichts integriert.

X/10 ist die Funktion aus dem Graphen abgelesen. Die Multiplikation des Funktionswertes mit x und das ganze durch 2 ergibt sich aus der Überlegung, das hier die Fläche eines rechtwinkliges Dreiecks berechnet wird, Kathete mal Kathete durch 2.

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Genau, dass ist noch nachvollziehbar, aber woher das x?

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Die Formel lautet ja: g*h/2=A

und inwiefern: kann g: x ; h: 1/10x sein?

Tut mir leid, für die ständige Nachfrage :-)

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X ist gleich der Länge auf der x-Achse und der Funktionswert an der Stelle x ist x/10 und eben auch die Länge von der x-Achse zum Funktionswert im Graphen.

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Aber man kann ja die länger auf der x Achse ablesen

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Für a) braucht man das mit den X-en auch gar nicht, für c) sollst du aber Funktionen aufstellen, die die Ergebnisse der Rechnung als Funktionswert haben oder einfacher die Funktionen, die die erstellte Wertetabelle ergibt. Du sollst vom speziellen Fall zum allgemeineneren gehen, das ist die didaktische Idee dieser Aufgabe.

Answer 2

Hallo

Grundfunktion: y=m*x m aus der Steigung der geraden im graph bestimmen.

aus a) sind die Punkte der funktion bekannt, versuchen sie durch y=a*x^2 zu finden. a betimmen.

Gruß ledum