Wie lange muss jede Pumpe einzeln fördern, und wie lange fördern sie gemeinsam, um den Behälter zu füllen?

Question

Aufgabe:

Ein Rohölbehälter wird durch 3 Pumpen gefüllt, und zwar durch die erste und zweite in 36 min, durch die zweite und dritte in 24 min oder dadurch, dass die erste 36 min und zugleich die dritte 24 min lang fördert. Wie lange muss jede Pumpe einzeln fördern, und wie lange fördern sie gemeinsam, um den Behälter zu füllen?

Problem/Ansatz:

1.	2.	3.
1/x	1/y		=	1/36
	1/y	1/z	=	1/24
1/36		1/24	=	1/x

Ich komme nicht auf die Lösungen:
90 min., 60 min., 40 min.

Answer 1

Hallo,

betrachte nicht die Zeit, die eine oder mehrere Pumpen benötigen, sondern die 'Behälter' pro Minute für jede einzelne Pumpe. Seien die drei Pumpleistungen \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\) so ist die Pumpleistung für \(p_1+p_2\)$$p_1 + p_2 = \frac 1{36} \frac{\text B}{\text{min}}$$oder wenn man diese Gleichung mit \(36\) multipliziert$$36p_1 + 36p_2 = 1$$mache das genauso für die anderen zwei Fälle und Du bekommst ein lineares Gleichungssystem $$\begin{aligned} 36p_1 + 36p_2&= 1 \\ 24p_2 + 24p_3 &= 1\\ 36p_1 + 24p_3 &= 1\end{aligned}$$mit der Lösung \(p_1=1/90\), \(p_2=1/60\) und \(p_3=1/40\). Die Einheit ist jeweils 'Behälter' \(\text B\) pro Minute \(\text{min}\). Und die Summe ist $$p_1+p_2+p_3 = \frac{19}{360} \frac{\text B}{\text{min}}$$Die drei Pumpen benötigen also gemeinsam \(360/19\approx 18,9\,\text{min}\) um einen Behälter zu füllen.

Falls Du Fragen hast - z.B. zur Lösung des linearen Gleichungssystems - so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Leistung einer Punmpe L → Einheit in m3/minweil hier mit der Zeit t in Minutengerechnet wird

1) 36*L1+35*L2+0*L3=V=1 m³ → V=1 m³ kann man frei Wählen

2) 0*L1+24*L2+24*L3=V=1 m³

3) 36*L1+0*L2+24*L3=V=1 m³

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) L1=1/90 m³/min und L2=1/60 m³/min und L3=1/40 m³/min

Zeit,wenn Pumpe alleine arbeitet L1*t1=V=1 m³ → t1=1 m³/(1/90 m³/min)=90 min

t2=1 m³/(1/60 m³/min)=60 min

t3=1 m³/(1/40 m³/min)=40 min

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Vielen Dank für die Lösungshinweise!