Anfangswertaufgabe lösen, Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung der auf$$U = ]0,\infty[ \times \mathbb{R} $$gegebenen Anfangswertaufgabe:

$$y'=-\frac{y}{x}+e^{-x}, y(1)=0.$$

Was ist der maximale Definitionsbereich der Lösung?

Answer 1

Für \(x\ne0\) ist die DGL äquivalent zu \(y+xy^\prime=x\mathrm e^{-x}\). Es folgt$$\begin{aligned}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\,xy&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\,-(x+1)\mathrm e^{-x}\\xy&=-(x+1)\mathrm e^{-x}+C\\y&=\frac{-(x+1)\mathrm e^{-x}+C}x.\end{aligned}$$Bestimme \(C\) aus \(y(1)=0\).

Answer 2

Hallo

die homogene Lösung durch Separation der Variablen lösen  also dy/y=-dx/x integrieren, dann Variation der Konstanten.

Gruß lul