$$y'= \frac x 2 (y + \sqrt y) $$
$$\frac 1{y + \sqrt y} \, \frac {dy}{dx}= \frac x 2 $$
Jetzt wird nicht "aufgelitten" , sondern beide Seiten der Gleichung der Integration nach der Variablen x unterzogen:
$$\int \quad \frac 1{y + \sqrt y} \, \frac {dy}{dx}\quad dx=\int \quad \frac x 2 \quad dx$$
$$\int \quad \frac 1{y + \sqrt y} \, {dy}=\frac 1 2 \cdot \int \quad x\quad \quad dx$$
$$2 \cdot \ln \vert \sqrt y + 1 \vert \,=\frac 1 2 \cdot \frac 1 2 \quad x^2 \quad \quad +C$$
$$ \ln \vert \sqrt y + 1 \vert \,= \frac 1 8 \quad x^2 \quad \quad +C$$
$$ e^{\ln \vert \sqrt y + 1 \vert }\,= e^{\frac {x^2} 8 +C}$$
$$ \sqrt y + 1 \,= e^{\frac {x^2} 8 } \cdot e^C$$
$$ \sqrt y \,= e^{\frac {x^2} 8 } \cdot C_1-1$$
$$ y \,= \left( e^{\frac {x^2} 8 } \cdot C_1-1\right)^2$$
$$ y \,= \left( e^{\frac {x^2} 8 } \cdot C_1-1\right)^2$$
