Differentialgleichung, Anfangswertaufgabe/problem

Question

Aufgabe:

Bisher habe ich nur:

Das heißt mir fehlen noch die Lösungen der Anfangswertaufgabe, jedoch ist dies meine ersten Differentialgleichung mit Anfangswertaufgabe, von daher habe ich noch nicht wirklich irgendeinen Plan, wie ich nun alle Lösungen der Anfangswertaufgabe bestimmen soll, sodass ich mich über irgendwelche Tipps oder etwas sinnvoll in die Richtung freuen würde.

Grüße

Answer 1

Meine Berechnungen:

Comments

Danke schön :)

Also um alle Anfangswertprobleme ausfindig zu machen musste ich so gesehen nur noch für y0 bis y und x0 bis x der jeweiligen Seiten der Gleichung integrieren?

---

So ist es.Die Integrale hast Du ja schon berechnet.

Answer 2

$$y'= \frac x 2 (y + \sqrt y)$$
$$\frac 1{y + \sqrt y} \, \frac {dy}{dx}= \frac x 2$$
Jetzt wird nicht "aufgelitten" , sondern beide Seiten der Gleichung der Integration nach der Variablen x unterzogen:
$$\int \quad \frac 1{y + \sqrt y} \, \frac {dy}{dx}\quad dx=\int \quad \frac x 2 \quad dx$$
$$\int \quad \frac 1{y + \sqrt y} \, {dy}=\frac 1 2 \cdot \int \quad x\quad \quad dx$$
$$2 \cdot \ln \vert \sqrt y + 1 \vert \,=\frac 1 2 \cdot \frac 1 2 \quad x^2 \quad \quad +C$$

 $$\ln \vert \sqrt y + 1 \vert \,= \frac 1 8 \quad x^2 \quad \quad +C$$
 $$e^{\ln \vert \sqrt y + 1 \vert }\,= e^{\frac {x^2} 8 +C}$$
 $$\sqrt y + 1 \,= e^{\frac {x^2} 8 } \cdot e^C$$
 $$\sqrt y \,= e^{\frac {x^2} 8 } \cdot C_1-1$$
 $$y \,= \left( e^{\frac {x^2} 8 } \cdot C_1-1\right)^2$$

 $$y \,= \left( e^{\frac {x^2} 8 } \cdot C_1-1\right)^2$$
 

Comments

Öhm, genau das habe ich ja auch raus, jedoch weiß ich nicht was ich weiteres tun muss um alle Lösungen der Anfangswertaufgabe herauszubekommen.

---

Grundsätzlich kontrollieren, ob alle Elemente der Grundmenge für x möglich sind (hier keine Einschränkungen, aber grundsätzlich immer gucken)

ebenso prüfen, ob alle Werte für die Konstanten "erlaubt" sind .

Probe mit "verdächtigen" Werten machen - vielleicht hat man sich irgendwo vertüdelt  ...

Profi: nach einer singulären Lösung Ausschau halten, die sich aus dem bisherigen Lösungsweg nicht ergeben hat.

---

Perfekt danke auch dir :) Und auch danke für die Tipps :)