Differentialgleichungssystem Anfangswertaufgabe Lösungen

Question

Für \(A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \) ist das Differentialgleichungssystem \(y' = Ay \) autonom.

a) Bestimmen Sie für \(η \) > 0 die Lösung \(φ = \begin{pmatrix} φ_1\\φ_2 \end{pmatrix} \) der Anfangswertaufgabe

\(y'=Ay, \:\:y(0)=\begin{pmatrix} 0\\η \end{pmatrix} \)

b) Skizzieren Sie für einige Werte von \(η \) die Lösungskurve \(K_φ = \left\{\begin{pmatrix} φ_1(t)\\φ_2(t)\end{pmatrix}| t \in \mathbb{R}\right\} \)

um einen Überblick über das Phasenportrait zu erhalten.

Comments

hallo

hast du die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix? wo liegen dann deine Probleme?

lul

Answer 1

Hallo,

zu a)

det(A- λE)= \( \begin{pmatrix} -1-λ & -2 \\ 2 & -1-λ \end{pmatrix} \)

λ^2 +2λ +5=0

λ_1,2=1± 2i

Eigenwerte:

\( \lambda_{1}=-1+2 i \)

\( \lambda_{2}=-1-2 i \)

Eigenvektoren:
\( v_{1}=(i, 1) \)
\( v_{2}=(-\dot{i}, 1) \)