Stückkostenfunktion ist k(x) := K(x)/x.
Deren Ableitung ist
k'(x) = (x·K'(x) - 1·K(x)) / x2
wie du mit der Quotientenregel nachrechnen kannst. Die Nullstelle der Ableitung bekommt man mittels x·K'(x) - 1·K(x) = 0. Am Betriebsoptimum xBO gilt also
xBO·K'(xBO) - 1·K(xBO) = 0
und somit
(1) xBO = K(xBO) / K'(xBO).
Allgemein hat die Ursprungsgrade zum Punkt (x0 | K(x0)) die Funtionsgleichung
t(x) = K(x0)/x0 · x.
Dann hat die Ursprungsgrade zum Punkt (xBO | K(xBO)) hat die Funtionsgleichung
(2) t(x) = K(xBO)/xBO · x.
Setzt man (1) in (2) ein, dann erhalt man
t(x) = K(xBO)/(K(xBO) / K'(xBO)) · x = K'(xBO) · x.
Somit ist die Ursprungsgerade am Betriebsoptimum eine Tangente der Kostenfunktion.
