Skalarprodukt berechnen mit Winkel und Betrag

Question

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Gegeben seien zwei Vektoren a, b mit |a| = 2, |b| = 1, und Zwischenwinkel 60◦ . Berechnen Sie das Skalarprodukt (a+b) · (a−2b).

Der Vektor a besteht ja aus a_x,a_y,a_z Wie komme ich nun auf die einzelnen Koordinaten der Vektoren? 

Ich weiss, ähnliche Fragen wurden bereits gestellt. Die habe ich auch angeschaut, aber ich verstehe es immer noch nicht.

Mir ist bewusst, dass cos(60°)=1/2 ist, ebenso kenne ich die Gleichung um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Skalarprodukt nur mit Länge der Vektoren berechnen

Stichworte: vektoren,skalarprodukt,länge,winkel

In der Aufgabe ist die Länge der Vektoren gegeben; |a| = 2 und  |b| = 1, der Zwischenwinkel ist 60°

Nun soll man das Skalarprodukt von (a+b) • (a-2b) berechnen. Wie kann man das ohne Koordinaten und nur mit der Länge und dem Winkel tun?

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Diese Frage wurde bereits am 24.9. gestellt und beantwortet.

Answer 1

Bemerke dass Skalarpodukt linear in beiden Argumenten ist.
$$(a+b)\cdot (a-2b)= a\cdot a +a\cdot -2b+b\cdot a+ b\cdot -2b=|a|^2 - (a\cdot b)-2 |b|^2 $$
Es gilt $$cos(winkel(a,b))=\frac{a\cdot b}{|a||b|}$$, also $$-a\cdot b = -\cos(60°)|a||b|$$
Eingesetzt: $$ (a+b)\cdot (a-2b) = |a|^2-\cos(60°)|a||b|-2 |b|^2$$

Comments

Bemerke dass Skalarpodukt linear in beiden Argumenten ist.
(a+b)⋅(a−2b)=a⋅a+a⋅−2b+b⋅a+b⋅−2b=|a|²−(a⋅b)−2|b|²

Sorry wenn das eine blöde Frage ist, aber was meinst du mit linear in beiden Argumenten?

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@mjfranz
Seien a,b,c Vektoren und r,t reelle Zahlen, dann gilt 
$$((ra+tb)\cdot c)=r(a\cdot c)+t(b\cdot c)$$
Obige Gleichheit beschreibt die Linearität im ersten Argument.
Dann kann man die Linearität in zweiten Argument zeigen indem wir die Symmetrie $$a\cdot b =b\cdot a$$

ausnutzen.

Also praktisch bedeitet es fast das "Ausklammern" :)

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Achso okay, danke! Und noch zu deinem ersten Schritt:

a⋅a+a⋅−2b+b⋅a+b⋅−2b=|a|2−(a⋅b)−2|b|2

Wieso wird dann aus a² und b²  |a|² und |b|² , während  −(a⋅b) ohne Betrag bleibt?

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$$a\cdot b$$ steht nicht für Zahlenmultiplikation! 
Sondern Skalarprodukt von Vektor a mit Vektor b. Also $$a\cdot a \neq a^2$$ Eine Norm (Länge des Vektors a) kann man mit Skalarprodukt ausdrücken auf folgende Weise: $$ a \cdot a = ||a||^2$$ Oder mit etwa schlampiger Notation $$ a \cdot a = |a|^2$$ 

Answer 2

Nach den Rechenregeln für Skalarprodukte gilt
(a + b)•(a - 2·b) = a•a - a•b - 2·b•b = |a|² - |a|·|b|·cos∠(a,b) - 2·|b|².

Answer 3

(a+b) • (a-2b)

= a•a + b•a + a•(-2b) + b•(-2b)

= a•a + b•a  -2 a•b  -2 b•b

= a•a   - a•b  -2 b•b

= |a|•|a|   -|a|•|b|•cos(60°)   -2 |b|•|b|

=    4 - 2 • 1 • 0,5  - 2•1•1

=  4 - 1 - 2 = 1